Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Rolle 15

    Posted on agosto 17th, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Razónese que, sea cual sea un número real c, la ecuación x5 – 5x + c = 0 no puede tener dos soluciones positivas menores que 1.

     

     

    Solución:

    Supongamos que existan dos soluciones c1 y c2 pertenecientes al intervalo ]0, 1[, con c1 < c2 por ejemplo, es decir, que [c1, c2]  es un subconjunto de ]0, 1[.

    Sea f(x) = x5 – 5x + c, que por ser polinómica es continua en todo R y, por tanto, en [c1, c2].

    Como f’(x) = 5x4 – 5,  f es derivable en ]0, 1[, luego también lo es en [c1, c2].

    Al ser c1 y c2 soluciones de la ecuación se cumplirá que f(c1) = f(c2).

    Por tanto se verifica el teorema de Rolle y existe un x0 perteneciente a ]c1, c2[ tal que f’(x0) = 0. O sea:

    f’(x0) = 0 → 5x04 – 5 = 0 → x04 – 1 = 0 → x04 = 1

    TEOREMA DE ROLLE 15

    luego  contradice la hipótesis, por tanto no existen dos soluciones, c1, c2, pertenecientes a ]0, 1[.

     

     


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