Teorema de Rolle 15

Razónese que, sea cual sea un número real c, la ecuación x⁵ – 5x + c = 0 no puede tener dos soluciones positivas menores que 1.

Solución:

Supongamos que existan dos soluciones c₁ y c₂ pertenecientes al intervalo ]0, 1[, con c₁ < c₂ por ejemplo, es decir, que [c₁, c₂]  es un subconjunto de ]0, 1[.

Sea f(x) = x⁵ – 5x + c, que por ser polinómica es continua en todo R y, por tanto, en [c₁, c₂].

Como f’(x) = 5x⁴ – 5,  f es derivable en ]0, 1[, luego también lo es en [c₁, c₂].

Al ser c₁ y c₂ soluciones de la ecuación se cumplirá que f(c₁) = f(c₂).

Por tanto se verifica el teorema de Rolle y existe un x₀ perteneciente a ]c₁, c₂[ tal que f’(x₀) = 0. O sea:

f’(x₀) = 0 → 5x₀⁴ – 5 = 0 → x₀⁴ – 1 = 0 → x₀⁴ = 1

luego  contradice la hipótesis, por tanto no existen dos soluciones, c₁, c₂, pertenecientes a ]0, 1[.