Teorema de Rolle 13

Decir, razonando las respuestas, si se puede aplicar el teorema de Rolle a las siguientes funciones:

a) 

en [–1, 1 ]

b) 

en [1, 2]

Solución:

Teorema de Rolle:

“Si f(x) es continua en [a, b], derivable en ]a, b[ y toma valores iguales en sus extremos, es decir, que f(a) = f(b), existe un x₀ perteneciente a ]a, b[ tal que f’(x₀) = 0”. O sea, que existe un máximo o un mínimo en el interior de ]a, b[.

a)  La función:

es continua en todo R, luego lo es en [–1, 1].

La función es derivable en R – {0}, ya que en x = 0 la derivada no está definida. Veamos si es derivable en dicho punto.

Para estudiar la derivabilidad se puede hacer de tres formas distintas:

1ª forma:

2ª forma:

3ª forma:

Por tanto la función es derivable en ]–1, 1[. 

Luego si se puede aplicar el teorema de Rolle.

b) 

Luego no se puede aplicar el teorema de Rolle.