Teorema de Rolle 12

¿A la función f(x) = –x² + 2x + 5 se le puede aplicar el teorema de Rolle en el intervalo [–1, 3]? En caso afirmativo, halla el valor x₀ tal que f’(x₀) = 0.

Solución:

Teorema de Rolle:

“Si f(x) es continua en [a, b], derivable en ]a, b[ y toma valores iguales en sus extremos, es decir, que f(a) = f(b), existe un x₀ perteneciente a ]a, b[ tal que f’(x₀) = 0”. 

Por tanto las condiciones del teorema son:

f(x) es continua en [a, b]

f(x) derivable en ]a, b[

f(a) = f(b)

Veamos si se cumplen las anteriores condiciones:

Por ser f una función polinómica es continua en todo R, luego lo es, también, en [–1, 3] y derivable en ]–1, 3[

f(–1) = –1 – 2 + 5 = 2

f(3) = –9 + 6 + 5 = 2

Luego:

f(–1) = f(3)

Como se cumplen las tres condiciones del teorema de Rolle, se puede aplicar dicho teorema.

Función derivada:

f'(x) = –2x + 2

f’(x₀) = –2x₀ + 2 = 0 → x₀ = 1