Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Rolle 12

    Posted on julio 23rd, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    ¿A la función f(x) = –x2 + 2x + 5 se le puede aplicar el teorema de Rolle en el intervalo [–1, 3]? En caso afirmativo, halla el valor x0 tal que f’(x0) = 0.

     

     

    Solución:

    Teorema de Rolle:

    “Si f(x) es continua en [a, b], derivable en ]a, b[ y toma valores iguales en sus extremos, es decir, que f(a) = f(b), existe un x0 perteneciente a ]a, b[ tal que f’(x0) = 0”. 

    Por tanto las condiciones del teorema son:

    f(x) es continua en [a, b]

    f(x) derivable en ]a, b[

    f(a) = f(b)

    Veamos si se cumplen las anteriores condiciones:

    Por ser f una función polinómica es continua en todo R, luego lo es, también, en [–1, 3] y derivable en ]–1, 3[

    f(–1) = –1 – 2 + 5 = 2

    f(3) = –9 + 6 + 5 = 2

    Luego:

    f(–1) = f(3)

    Como se cumplen las tres condiciones del teorema de Rolle, se puede aplicar dicho teorema.

    Función derivada:

    f'(x) = –2x + 2

    f’(x0) = –2x0 + 2 = 0 → x0 = 1

     

     


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