Teorema de Rolle 11

Determina si es posible encontrar m y n para que f(x) satisfaga las condiciones de la hipótesis de Rolle en [–2, 4]

Solución:

Teorema de Rolle:

“Si f(x) es continua en [a, b], derivable en ]a, b[ y toma valores iguales en sus extremos, es decir, que f(a) = f(b) existe al menos un punto c perteneciente a ]a, b[ tal que f’(c) = 0”.

Por ser: mx² + 2x un polinomio, f(x) es continua en [–2, 1[ y derivable en ]–2, 1[ 

Por ser: –x² + 6x + n un polinomio, f(x) es continua en [1, 4] y derivable en ]1, 4[ 

Por tanto, f(x) es continua en [–2, 4] – {1} y derivable en ]–2, 4[ – {1}.

Impongamos la condición de que f sea continua y derivable en 1 (y que f(–2) = f(4)).

Continuidad en x = 1:

Para que la función sea continua se ha de cumplir que:

Por tanto tenemos una primera ecuación:

m + 2 = –1 + 6 + n → m – n = 3

Derivabilidad en x = 1: 

f'(1^–) = 2m + 2       f’(1⁺) = 4

Para que la función sea derivable en x = 1 se debe cumplir que f’(1^–) = f’(1⁺), con lo que tenemos una segunda ecuación:

2m + 2 = 4 → 2m = 2 → m = 1

Sustituyendo en la ecuación obtenida en la continuidad, tenemos que:

1 – n = 3 → n = –2

Por tanto:

Nos falta que se cumpla que f(–2) = f(4), por tanto:

f(–2) = (–2)² + 2·(–2) = 0

f(4) = –(4)² +6·4 – 2 = 6

Como f(–2) ≠ f(4) no se verifica el teorema de Rolle al fallar una de las condiciones de las hipótesis, luego no es posible encontrar m y n.