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Teorema de Rolle 11
Posted on julio 20th, 2015 No commentsDetermina si es posible encontrar m y n para que f(x) satisfaga las condiciones de la hipótesis de Rolle en [–2, 4]
Solución:
Teorema de Rolle:
“Si f(x) es continua en [a, b], derivable en ]a, b[ y toma valores iguales en sus extremos, es decir, que f(a) = f(b) existe al menos un punto c perteneciente a ]a, b[ tal que f’(c) = 0”.
Por ser: mx2 + 2x un polinomio, f(x) es continua en [–2, 1[ y derivable en ]–2, 1[
Por ser: –x2 + 6x + n un polinomio, f(x) es continua en [1, 4] y derivable en ]1, 4[
Por tanto, f(x) es continua en [–2, 4] – {1} y derivable en ]–2, 4[ – {1}.
Impongamos la condición de que f sea continua y derivable en 1 (y que f(–2) = f(4)).
Continuidad en x = 1:
Para que la función sea continua se ha de cumplir que:
Por tanto tenemos una primera ecuación:
m + 2 = –1 + 6 + n → m – n = 3
Derivabilidad en x = 1:
f'(1–) = 2m + 2 f’(1+) = 4
Para que la función sea derivable en x = 1 se debe cumplir que f’(1–) = f’(1+), con lo que tenemos una segunda ecuación:
2m + 2 = 4 → 2m = 2 → m = 1
Sustituyendo en la ecuación obtenida en la continuidad, tenemos que:
1 – n = 3 → n = –2
Por tanto:
Nos falta que se cumpla que f(–2) = f(4), por tanto:
f(–2) = (–2)2 + 2·(–2) = 0
f(4) = –(4)2 +6·4 – 2 = 6
Como f(–2) ≠ f(4) no se verifica el teorema de Rolle al fallar una de las condiciones de las hipótesis, luego no es posible encontrar m y n.
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