Ejercicios resueltos de Matemáticas
Bullet (black) RSS icon



  • Teorema de Rolle 11

    Posted on julio 20th, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Determina si es posible encontrar m y n para que f(x) satisfaga las condiciones de la hipótesis de Rolle en [–2, 4]

    TEOREMA DE ROLLE 11, 1

     

     

    Solución:

    Teorema de Rolle:

    “Si f(x) es continua en [a, b], derivable en ]a, b[ y toma valores iguales en sus extremos, es decir, que f(a) = f(b) existe al menos un punto c perteneciente a ]a, b[ tal que f’(c) = 0”.

    Por ser: mx2 + 2x un polinomio, f(x) es continua en [–2, 1[ y derivable en ]–2, 1[ 

    Por ser: –x2 + 6x + n un polinomio, f(x) es continua en [1, 4] y derivable en ]1, 4[ 

    Por tanto, f(x) es continua en [–2, 4] – {1} y derivable en ]–2, 4[ – {1}.

    Impongamos la condición de que f sea continua y derivable en 1 (y que f(–2) = f(4)).

    Continuidad en x = 1:

    TEOREMA DE ROLLE 11, 2

    Para que la función sea continua se ha de cumplir que:

    TEOREMA DE ROLLE 11, 3

    Por tanto tenemos una primera ecuación:

    m + 2 = –1 + 6 + n → m – n = 3

    Derivabilidad en x = 1: 

    TEOREMA DE ROLLE 11, 4

    f'(1) = 2m + 2       f’(1+) = 4

    Para que la función sea derivable en x = 1 se debe cumplir que f’(1) = f’(1+), con lo que tenemos una segunda ecuación:

    2m + 2 = 4 → 2m = 2 → m = 1

    Sustituyendo en la ecuación obtenida en la continuidad, tenemos que:

    1 – n = 3 → n = –2

    Por tanto:

    TEOREMA DE ROLLE 11, 5

    Nos falta que se cumpla que f(–2) = f(4), por tanto:

    f(–2) = (–2)2 + 2·(–2) = 0

    f(4) = –(4)2 +6·4 – 2 = 6

    Como f(–2) ≠ f(4) no se verifica el teorema de Rolle al fallar una de las condiciones de las hipótesis, luego no es posible encontrar m y n.

     

     

     

    Leave a Reply