Ejercicios resueltos de Matemáticas
Bullet (black) RSS icon



  • Teorema de Rolle 10

    Posted on julio 16th, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Demuestra que la ecuación: 5x – cos 2x = 2 tiene una única raíz real.

     

     

    Solución:

    Primero debemos averiguar si existe una solución.

    Sea f(x) = 5x – cos 2x – 2, continua en todo R , por ser diferencias de funciones continuas.

    Busquemos un intervalo en el que la función tome valores de signo contrario en sus extremos.

    f(0) = 0 – cos 0 – 2 = –3 < 0

    f(π/2) = 5·(π/2) + 1 – 2 > 0

    f(0)· f(π/2) < 0

    Por tanto, según Bolzano, existe un punto c perteneciente a [0, π/2] tal que f(c) = 0, es decir, que la ecuación dada tiene al menos una solución, que sería: 5c – cos 2c – 2 = 0.

    Supongamos que existan dos soluciones c1 y c2, siendo, por ejemplo, c1 < c2.

    Como f(x) es continua en todo R también lo es en [c1, c2] y es derivable en ]c1, c2[, por composición de funciones derivables.

    Al ser c1 y c2 soluciones de la ecuación se cumplirá que f(c1) = f(c2).

    Por tanto se verifica el teorema de Rolle y existe un número x0 perteneciente a ]c1, c2[ tal que f’(x0) = 0. O sea:

    f'(x0) = 5 + 2 sen 2x0 = 0

    2 sen x0 = –5

      sen x0 = –5/2 < –1

    cosa que es un absurdo, por tanto  contradice la hipótesis y no existen dos soluciones.

    Luego sólo existe una raíz, la prevista por Bolzano.

     

     


    Leave a Reply