Teorema de Rolle 10

Demuestra que la ecuación: 5x – cos 2x = 2 tiene una única raíz real.

Solución:

Primero debemos averiguar si existe una solución.

Sea f(x) = 5x – cos 2x – 2, continua en todo R , por ser diferencias de funciones continuas.

Busquemos un intervalo en el que la función tome valores de signo contrario en sus extremos.

f(0) = 0 – cos 0 – 2 = –3 < 0

f(π/2) = 5·(π/2) + 1 – 2 > 0

f(0)· f(π/2) < 0

Por tanto, según Bolzano, existe un punto c perteneciente a [0, π/2] tal que f(c) = 0, es decir, que la ecuación dada tiene al menos una solución, que sería: 5c – cos 2c – 2 = 0.

Supongamos que existan dos soluciones c₁ y c₂, siendo, por ejemplo, c₁ < c₂.

Como f(x) es continua en todo R también lo es en [c₁, c₂] y es derivable en ]c₁, c₂[, por composición de funciones derivables.

Al ser c₁ y c₂ soluciones de la ecuación se cumplirá que f(c₁) = f(c₂).

Por tanto se verifica el teorema de Rolle y existe un número x₀ perteneciente a ]c₁, c₂[ tal que f’(x₀) = 0. O sea:

f'(x₀) = 5 + 2 sen 2x₀ = 0

2 sen x₀ = –5

  sen x₀ = –5/2 < –1

cosa que es un absurdo, por tanto  contradice la hipótesis y no existen dos soluciones.

Luego sólo existe una raíz, la prevista por Bolzano.