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Teorema de Rolle 10
Posted on julio 16th, 2015 No commentsDemuestra que la ecuación: 5x – cos 2x = 2 tiene una única raíz real.
Solución:
Primero debemos averiguar si existe una solución.
Sea f(x) = 5x – cos 2x – 2, continua en todo R , por ser diferencias de funciones continuas.
Busquemos un intervalo en el que la función tome valores de signo contrario en sus extremos.
f(0) = 0 – cos 0 – 2 = –3 < 0
f(π/2) = 5·(π/2) + 1 – 2 > 0
f(0)· f(π/2) < 0
Por tanto, según Bolzano, existe un punto c perteneciente a [0, π/2] tal que f(c) = 0, es decir, que la ecuación dada tiene al menos una solución, que sería: 5c – cos 2c – 2 = 0.
Supongamos que existan dos soluciones c1 y c2, siendo, por ejemplo, c1 < c2.
Como f(x) es continua en todo R también lo es en [c1, c2] y es derivable en ]c1, c2[, por composición de funciones derivables.
Al ser c1 y c2 soluciones de la ecuación se cumplirá que f(c1) = f(c2).
Por tanto se verifica el teorema de Rolle y existe un número x0 perteneciente a ]c1, c2[ tal que f’(x0) = 0. O sea:
f'(x0) = 5 + 2 sen 2x0 = 0
2 sen x0 = –5
sen x0 = –5/2 < –1
cosa que es un absurdo, por tanto contradice la hipótesis y no existen dos soluciones.
Luego sólo existe una raíz, la prevista por Bolzano.
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