Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Rolle 09

    Posted on julio 13th, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Demuestra que x15 = 2 – 5x tiene una única solución real y enuncia los teoremas usados.

     

     

    Solución:

    Primero debemos averiguar si existe una solución.

    Teorema de Bolzano:

    Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b] y f(a)·f(b) < 0 (toma valores de signo contrario en sus extremos), entonces existe al menos un número c perteneciente a ]a, b[ tal que f(c) = 0.

    Sea f(x) = x15 + 5x – 2, continua en todo R  por ser una función polinómica.

    Busquemos un intervalo en el que la función tome valores de signo contrario en sus extremos.

    f(0) = 0 + 0 – 2 < 0

    f(1) = 1 + 5 – 2 > 0

    f(0)·f(1) < 0

    Por tanto, según Bolzano, existe un punto c perteneciente a ]0, 1[ tal que f(c) = 0, es decir, que la ecuación dada tiene al menos una solución, que sería: c15 + 5c – 2 = 0.

    Teorema de Rolle:

    “Si f(x) es continua en [a, b], derivable en ]a, b[ y toma valores iguales en sus extremos, es decir, que f(a) = f(b), existe un número c perteneciente a ]a, b[ tal que f’(c) = 0”.

    f'(x) = 15x14 + 5, es siempre mayor que cero, luego f es estrictamente creciente para todo x perteneciente a R y no se puede aplicar Rolle. La función posee una única raíz, por lo tanto, la ecuación tiene una única solución.

    (El único punto donde la función corta al eje OX es en el previsto por Bolzano, que es la única solución de la ecuación dada)

     

     


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