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Teorema de Rolle 08
Posted on julio 9th, 2015 No comments¿Se puede aplicar el teorema de Rolle a la función f(x) = |x – 3|, en el intervalo [1, 5]?
Solución:
Teorema de Rolle:
“Si f(x) es continua en [a, b], derivable en ]a, b[ y toma valores iguales en sus extremos, es decir, que f(a) = f(b), existe un c perteneciente a ]a, b[ tal que f’(c) = 0”.
Por tanto las condiciones del teorema son:
f(x) es continua en [a, b]
f(x) derivable en ]a, b[
f(a) = f(b)
Continuidad:
Primero veremos dónde f(x) es igual a cero y, posteriormente, buscaremos los intervalos en los que el signo de f(x) es positivo o negativo.
x – 3 = 0 → x = 3
Por tanto:
La función dada es continua a la izquierda y a la derecha de 3 por tratarse en ambos casos de función polinómica. Nos falta, por tanto, estudiar la continuidad en x = 3, en donde la función cambia de expresión.
La función es continua en x = 3, ya que:
Por tanto f(x) es continua en [1, 5]
Derivabilidad:
Como las derivadas laterales en x = 3 son diferentes (se trata de un punto anguloso), la función no es derivable en ]1, 5[, luego no se puede aplicar el teorema de Rolle en [1, 5].
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