Teorema de Rolle 08

¿Se puede aplicar el teorema de Rolle a la función f(x) = |x – 3|, en el intervalo [1, 5]?

Solución:

Teorema de Rolle:

“Si f(x) es continua en [a, b], derivable en ]a, b[ y toma valores iguales en sus extremos, es decir, que f(a) = f(b), existe un c perteneciente a ]a, b[ tal que f’(c) = 0”. 

Por tanto las condiciones del teorema son:

f(x) es continua en [a, b]

f(x) derivable en ]a, b[

f(a) = f(b)

Continuidad:  

Primero veremos dónde f(x) es igual a cero y, posteriormente, buscaremos los intervalos en los que el signo de f(x) es positivo o negativo.

x – 3 = 0 → x = 3

Por tanto:

La función dada es continua a la izquierda y a la derecha de 3 por tratarse en ambos casos de función polinómica. Nos falta, por tanto, estudiar la continuidad en x = 3, en donde la función cambia de expresión.

La función es continua en x = 3, ya que:

Por tanto f(x) es continua en [1, 5]

Derivabilidad:

Como las derivadas laterales en x = 3 son diferentes (se trata de un punto anguloso), la función no es derivable en ]1, 5[, luego no se puede aplicar el teorema de Rolle en [1, 5].