Ejercicios resueltos de Matemáticas
Bullet (black) RSS icon



  • Teorema de Rolle 08

    Posted on julio 9th, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    ¿Se puede aplicar el teorema de Rolle a la función f(x) = |x – 3|, en el intervalo [1, 5]?

     

     

    Solución:

    Teorema de Rolle:

    “Si f(x) es continua en [a, b], derivable en ]a, b[ y toma valores iguales en sus extremos, es decir, que f(a) = f(b), existe un c perteneciente a ]a, b[ tal que f’(c) = 0”. 

    Por tanto las condiciones del teorema son:

    f(x) es continua en [a, b]

    f(x) derivable en ]a, b[

    f(a) = f(b)

    Continuidad:  

    Primero veremos dónde f(x) es igual a cero y, posteriormente, buscaremos los intervalos en los que el signo de f(x) es positivo o negativo.

    x – 3 = 0 → x = 3

    TEOREMA DE ROLLE 08, 5 copia

    Por tanto:

    TEOREMA DE ROLLE 08, 1

    La función dada es continua a la izquierda y a la derecha de 3 por tratarse en ambos casos de función polinómica. Nos falta, por tanto, estudiar la continuidad en x = 3, en donde la función cambia de expresión.

    TEOREMA DE ROLLE 08, 2

    La función es continua en x = 3, ya que:

    TEOREMA DE ROLLE 08, 3

    Por tanto f(x) es continua en [1, 5]

    Derivabilidad:

    TEOREMA DE ROLLE 08, 4

    Como las derivadas laterales en x = 3 son diferentes (se trata de un punto anguloso), la función no es derivable en ]1, 5[, luego no se puede aplicar el teorema de Rolle en [1, 5].

     

     


    Leave a Reply