Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Rolle 06

    Posted on julio 2nd, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Calcula p, m y n para que la función:

    TEOREMA DE ROLLE 06, 1

    cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en [–1, 5]. ¿Dónde cumple la tesis?

     

     

    Solución:

    Teorema de Rolle:

    “Si f(x) es continua en [a, b], derivable en ]a, b[ y toma valores iguales en sus extremos, es decir, que f(a) = f(b) existe al menos un punto c Î ]a, b[ tal que f’(c) = 0”. O sea, que existe un máximo o un mínimo en el interior de ]a, b[.

    Por ser: –x2 + px un polinomio, f(x) es continua en [–1, 3[ y derivable en ]–1, 3[ 

    Por ser: mx + n un polinomio, f(x) es continua en [3, 5[ y derivable en ]3, 5[ 

    Por tanto, f(x) es continua en [–1, 5[ – {3} y derivable en ]–1, 5[ – {3}.

    Impongamos la condición de que f sea continua y derivable en 3 (y que f(–1) = f(5)).

    Continuidad en x = 3:

    TEOREMA DE ROLLE 06, 2

    Para que la función sea continua se ha de cumplir que:

    TEOREMA DE ROLLE 06, 7

    Por tanto tenemos una primera ecuación:

    –9 + 3p = 3m + n → 3m + n = 3p – 9

    Derivabilidad en x = 3: 

    TEOREMA DE ROLLE 06, 4

    Para que la función sea derivable en x = 3 se debe cumplir que f’(3) = f’(3+), con lo que tenemos una segunda ecuación:

    m = p – 6

    Nos falta que se cumpla que f(–1) = f(5), por tanto:

    f(–1) = –(–1)2 + p(–1) = –1 – p

    f(5) = 5m + n

    luego:

    5m + n = –1 – p

    Como tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas podemos resolver el sistema para hallar los valores buscados.

    3m + n = 3p – 9

    m = p – 6

    5m + n = –1 – p

    Sustituyendo el valor de m en la primera y tercera de la anteriores ecuaciones, se tiene que:

    3(p – 6) + n = 3p – 9 → 3p – 18 + n = 3p – 9 → n = 9

    5(p – 6) + n = –1 – p → 5p – 30 + n = –1 – p → 6p + n = 29

    6p + 9 = 29 → 6p = 20 → p = 20/6 = 10/3

    m  = (10/3) – 6 = –8/3

    Por tanto:

    TEOREMA DE ROLLE 06, 5

    cumple las hipótesis del teorema de Rolle en [–1, 5].

    Veamos dónde se verifica la tesis.

    Como:

     TEOREMA DE ROLLE 06, 8

    y sabemos que existe valor c perteneciente a ]–1, 5[ tal que f’(c) = 0, entonces:

    –1 < c < 3 →  –2c + (10/3) = 0 → 2c = 10/3 → c = 5/3

    3 < c < 5 → –8/3 ≠ 0

    Por tanto, c = 5/3 es el valor predicho por el teorema de Rolle.

     

     


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