Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Rolle 05

    Posted on junio 29th, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Demuestra que la ecuación 3x – cos x = 1, tiene una única solución real. ¿En qué teoremas te basas?

     

     

    Solución:

    Primero debemos averiguar si existe una solución.

    Sea la función f(x) = 3x – cos x – 1, continua en todo R, por ser diferencia de funciones continuas.

    Busquemos un intervalo en el que la función tome valores de signo contrario en sus extremos. Por ejemplo:

    f(0) = 0 – cos 0 – 1 = –2 < 0

    f(π/2) = (3π/2) – cos (π/2) – 1 > 0

    f(0)·f(π/2) < 0

    Por tanto, según Bolzano, existe un valor c perteneciente a [0, π/2] tal que f(c) = 0, es decir, que la ecuación dada tiene, al menos, una solución, que sería: 3 c – cos c – 1 = 0.

    Teorema de Rolle:

    f'(x) = 3 + sen x es siempre mayor que cero, ya que sen x pertenece a [–1, 1], luego f es estrictamente creciente para todo número real x y posee una única raíz.

    (El único punto donde la función corta al eje OX es en el previsto por Bolzano, que es la única solución de la ecuación dada)

    Para probar que la solución es única, también se puede hacer de la siguiente forma:

    Supongamos que existan dos soluciones x1 y x2 siendo, por ejemplo, x1 < x2. Como f(x) es continua en todo R también lo es en [x1, x2] y es derivable en ]x1, x2[, por diferencia de funciones derivables.

    Al ser x1 y x2 soluciones de la ecuación se cumplirá que: f(x1) = f(x2).

    Por tanto se verifica el teorema de Rolle y existe un valor c perteneciente a ]x1, x2[, tal que f’(c) = 0. O sea:

    f'(c) = 0 → f'(c) = 3 + sen c = 0

    sen c = –3 < –1

    cosa que es un absurdo, por tanto  contradice la hipótesis y no existen dos soluciones.

    Luego sólo existe una raíz, la prevista por Bolzano.

     

     


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