Teorema de Rolle 04

Comprueba que la función f(x) = x³ – 2x²  cumple las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [0, 2]. Halla el valor correspondiente a c.

Solución:

Teorema de Rolle:

“Si f(x) es continua en [a, b], derivable en ]a, b[ y toma valores iguales en sus extremos, es decir, que f(a) = f(b) existe al menos un punto c Î ]a, b[ tal que f’(c) = 0”.

Esto quiere decir que existe un máximo o un mínimo en el interior de ]a, b[, o también que hay, al menos, un punto interior del intervalo ]a, b[ en el que la tangente a la curva f(x) es horizontal.

Por tanto las condiciones del teorema son:

f(x) es continua en [a, b]

f(x) es derivable en ]a, b[

f(a) = f(b)

La función f(x) = x³ – 2x² es continua en todo R, luego lo es en [0, 2].

f'(x) = 3x² – 4x

La función es derivable en R – {0}, ya que en x = 0 la derivada no está definida, pero como 0 no pertenece a ]0, 2[, también se cumple la segunda condición.

f(0) = 0

f(2) = 2³ – 2·2² = 0

Luego:

f(0) = f(2)

Por tanto la función cumple el teorema de Rolle.

Para hallar el valor c predicho por Rolle haremos lo siguiente:

f'(c) = 0 → 3c² – 4c = 0

c·(3c – 4) = 0

Primera solución:

c = 0

Segunda solución:

3c – 4 = 0 → c = 4/3

El valor predicho por el teorema de Rolle es c = 4/3 ya que este valor pertenece a ]0, 2[, pues c = 0 no sirve pues no pertenece al intervalo anteriormente citado.