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Teorema de Rolle 04
Posted on junio 25th, 2015 No commentsComprueba que la función f(x) = x3 – 2x2 cumple las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [0, 2]. Halla el valor correspondiente a c.
Solución:
Teorema de Rolle:
“Si f(x) es continua en [a, b], derivable en ]a, b[ y toma valores iguales en sus extremos, es decir, que f(a) = f(b) existe al menos un punto c Î ]a, b[ tal que f’(c) = 0”.
Esto quiere decir que existe un máximo o un mínimo en el interior de ]a, b[, o también que hay, al menos, un punto interior del intervalo ]a, b[ en el que la tangente a la curva f(x) es horizontal.
Por tanto las condiciones del teorema son:
f(x) es continua en [a, b]
f(x) es derivable en ]a, b[
f(a) = f(b)
La función f(x) = x3 – 2x2 es continua en todo R, luego lo es en [0, 2].
f'(x) = 3x2 – 4x
La función es derivable en R – {0}, ya que en x = 0 la derivada no está definida, pero como 0 no pertenece a ]0, 2[, también se cumple la segunda condición.
f(0) = 0
f(2) = 23 – 2·22 = 0
Luego:
f(0) = f(2)
Por tanto la función cumple el teorema de Rolle.
Para hallar el valor c predicho por Rolle haremos lo siguiente:
f'(c) = 0 → 3c2 – 4c = 0
c·(3c – 4) = 0
Primera solución:
c = 0
Segunda solución:
3c – 4 = 0 → c = 4/3
El valor predicho por el teorema de Rolle es c = 4/3 ya que este valor pertenece a ]0, 2[, pues c = 0 no sirve pues no pertenece al intervalo anteriormente citado.
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