Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Rolle 04

    Posted on junio 25th, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Comprueba que la función f(x) = x3 – 2x2  cumple las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [0, 2]. Halla el valor correspondiente a c.

     

     

    Solución:

    Teorema de Rolle:

    “Si f(x) es continua en [a, b], derivable en ]a, b[ y toma valores iguales en sus extremos, es decir, que f(a) = f(b) existe al menos un punto c Î ]a, b[ tal que f’(c) = 0”.

    Esto quiere decir que existe un máximo o un mínimo en el interior de ]a, b[, o también que hay, al menos, un punto interior del intervalo ]a, b[ en el que la tangente a la curva f(x) es horizontal.

    Por tanto las condiciones del teorema son:

    f(x) es continua en [a, b]

    f(x) es derivable en ]a, b[

    f(a) = f(b)

    La función f(x) = x3 – 2x2 es continua en todo R, luego lo es en [0, 2].

    f'(x) = 3x2 – 4x

    La función es derivable en R – {0}, ya que en x = 0 la derivada no está definida, pero como 0 no pertenece a ]0, 2[, también se cumple la segunda condición.

    f(0) = 0

    f(2) = 23 – 2·22 = 0

    Luego:

    f(0) = f(2)

    Por tanto la función cumple el teorema de Rolle.

    Para hallar el valor c predicho por Rolle haremos lo siguiente:

    f'(c) = 0 → 3c2 – 4c = 0

    c·(3c – 4) = 0

    Primera solución:

    c = 0

    Segunda solución:

    3c – 4 = 0 → c = 4/3

    El valor predicho por el teorema de Rolle es c = 4/3 ya que este valor pertenece a ]0, 2[, pues c = 0 no sirve pues no pertenece al intervalo anteriormente citado.

     

     

     

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