Teorema de Rolle 03

Comprueba el teorema de Rolle en la función f(x) = x ln x en el intervalo [a, b] tal que f(a) = f(b) = 0.

Solución:

Si: x ln x = 0, o x = 0, o ln x = 0.

En el último caso tenemos que:

ln x = 0 → x = e⁰ = 1

Por lo tanto:

f(0) = f(1) = 0 → [0, 1]

Ahora hallaremos f’(x).

f'(x) = 1·ln x + x·(1/x) = ln x + 1

La función es continua en [0, 1], derivable en ]0, 1[ y f(0) = f(1) luego, según Rolle, existe un c que pertenece a ]0, 1[ tal que f’(c) = 0.

Por tanto:

ln c + 1 = 0 → ln c = –1 → c = e^–1 = 1/e