Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Función continua y derivable 14

    Posted on junio 8th, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Estudia la continuidad y derivabilidad de:

    FUNC CONT Y DERIV 14, 1

     

     

    Solución:

    Como el valor absoluto incluye +x y –x, estudiaremos los intervalos en donde sucede una cosa y la otra.

    Igualamos a cero la expresión que se encuentra dentro del valor absoluto y resolvemos la ecuación resultante, en este caso, x = 0.

    Vamos a dar dos valores arbitrarios, uno menor y el otro mayor que 0, a x. Por ejemplo: x = –1 que resultará que x < 0 y x = 1 que dará que x > 0, es decir:

    FUNC CONT Y DERIV 14, 2

    Esto nos indica que la función f(x) = |x| es positiva a la derecha del cero y negativa a la izquierda del cero.

    Ahora la función se puede expresar de la siguiente forma:

    FUNC CONT Y DERIV 14, 3

    Continuidad:

    Hay que estudiar la continuidad en x = –3, x = 0 y x = 3.

    En x = –3:

    FUNC CONT Y DERIV 14, 4

    La función tiene una discontinuidad de salto finito en x = –3.

    En x = 0:

    FUNC CONT Y DERIV 14, 5

    La función tiene una discontinuidad de salto finito en x = 0.

    En x = 3:

    FUNC CONT Y DERIV 14, 6

    La función es continua en x = 3.

    Derivabilidad:

    En x = –3 y en x = 0 la función no es derivable ya que no es continua.

    FUNC CONT Y DERIV 14, 7

    Como f(3) ≠ f’(3+) la función no es derivable en x = 3, se trata de un punto anguloso.

     

     


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