Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Función continua y derivable 08

    Posted on mayo 18th, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Estudia la continuidad y derivabilidad de f(x), para todo número real x:

    FUNC CONT Y DERIV 08, 1

     

     

    Solución:

    Continuidad:

    La función dada es continua en x ≠ 0 por estar definida por funciones continuas. Hay que estudiar su comportamiento en x = 0.

    Hallaremos los límites de la función en este punto, teniendo en cuenta que si una función está acotada y otra función tiene límite igual a cero, el límite del producto de ambas funciones es igual a cero.

    FUNC CONT Y DERIV 08, 2

    la función es continua en x = 0.

    Por tanto, f(x) es continua para todo número real x.

    Derivabilidad:

    FUNC CONT Y DERIV 08, 3

    En este caso no hace falta estudiar la derivabilidad por la izquierda y por la derecha de 0, ya que al tratarse del límite cuando x tienda a cero indica que x ≠ 0 y en ambos caso tomaremos la misma función, es decir, f(x) = x2 cos (1/x), con lo que el resultado será el mismo.

    También se pude hacer utilizando la definición de derivada con otra fórmula alternativa, o sea:

    FUNC CONT Y DERIV 08, 4

    Luego f(x) es derivable en todo R.

     

     


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