Función continua y derivable 07

Sea la función:

¿Es derivable en todo su dominio? Especifica claramente su dominio, el conjunto donde es derivable, y en los puntos donde no sea derivable di si tiene al menos derivadas laterales y cuánto valen.

Solución:

Dominio:

x² (1 + x) ≥ 0

Como el producto ha de ser mayor o igual que cero y x² siempre lo es, se ha de cumplir que:

1 + x ≥ 0 → x ≥ –1

Por tanto:

Dom (f) = [–1, +∞[

Derivabilidad:

x² (1 + x) ≥ 0

Como el producto ha de ser mayor que cero y x² siempre lo es, se ha de cumplir que:

1 + x ≥ 0 → x ≥ –1 y x ≠ 0

Por tanto la función es derivable en:

]–1, 0[U]0, +∞[

Derivadas laterales:

No existe la derivada x = –1.

luego en x = 0 existen las derivadas por la derecha y por la izquierda pero no la derivada global (no es derivable ya que f’(0^–) ≠ f’(0⁺), se trata de un punto anguloso)