Función continua y derivable 05

Sea la función:

Determina a y b sabiendo que f es derivable en todo R. Luego halla f’(x).

Solución:

Si una función es derivable es también es continua, por tanto empezaremos obligando que sea continua.

La función dada es continua a la izquierda de 0 por ser polinómica y a la derecha de 0 por tratarse de un producto de funciones continuas (la función logaritmo es continua en todo su dominio, o sea, para x > 0). Nos queda, por tanto, estudiar la continuidad en x = 0, donde la función cambia de expresión.

Límite por la izquierda de cero:

Límite por la derecha de cero:

Para que la función sea continua se ha de cumplir que:

Por tanto:

b = 0

Ahora, suponiendo que sea continua, debemos hacer que sea derivable:

Para que las derivadas laterales sean iguales se debe cumplir que a = 0.

La función es f  derivable en todo , si: a = 0 y b = 0.

Función derivada: