Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Función continua y derivable 05

    Posted on mayo 7th, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Sea la función:

    FUNC CONT Y DERIV 05, 1

    Determina a y b sabiendo que f es derivable en todo R. Luego halla f’(x).

     

     

    Solución:

    Si una función es derivable es también es continua, por tanto empezaremos obligando que sea continua.

    La función dada es continua a la izquierda de 0 por ser polinómica y a la derecha de 0 por tratarse de un producto de funciones continuas (la función logaritmo es continua en todo su dominio, o sea, para x > 0). Nos queda, por tanto, estudiar la continuidad en x = 0, donde la función cambia de expresión.

    Límite por la izquierda de cero:

    FUNC CONT Y DERIV 05, 2

    Límite por la derecha de cero:

    FUNC CONT Y DERIV 05, 3

    Para que la función sea continua se ha de cumplir que:

    FUNC CONT Y DERIV 05, 4

    Por tanto:

    b = 0

    Ahora, suponiendo que sea continua, debemos hacer que sea derivable:

    FUNC CONT Y DERIV 05, 5

    Para que las derivadas laterales sean iguales se debe cumplir que a = 0.

    La función es f  derivable en todo , si: a = 0 y b = 0.

    Función derivada:

    FUNC CONT Y DERIV 05, 6

     

     


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