Función continua y derivable 04

Estudia la continuidad y derivabilidad de la siguiente función, indicando la situación que presente en cada punto conflictivo.

Solución:

Continuidad:

La función dada es continua en x ≠ 0 y x ≠ 2 por estar definida por funciones continuas. Hay que estudiar su comportamiento en x = 0 y x = 2.

Hallemos los límites de la función en estos puntos.

Para x = 0:

La función es continua en x = 0.

Para x = 2:

La función no es continua en x = 2, existiendo, en este punto, una discontinuidad de salto finito.

Derivabilidad:

En x = 0:

f’(0^–) ≠ f(0⁺)

Las derivadas laterales existen pero no coinciden, luego f no es derivable en x = 0. Se trata de un punto anguloso.

En x = 2:

Como en este punto la función no es continua, tampoco es derivable.