Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Derivadas laterales 01

    Posted on abril 16th, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Halla las derivadas laterales de la función f(x) = |9 – x2|, en el punto x = 3.

     

     

    Solución:

    Como el valor absoluto incluye +(9 – x2) y –(9 – x2) , estudiaremos los intervalos en donde sucede una cosa o la otra, para lo cual, primero calcularemos las raíces o soluciones de la ecuación: 9 – x2

    9 – x2 = 0 → 32 – x2 = 0 → (3 + x)·(3 – x) = 0

    Primera solución:

    3 + x = 0 → x = –3

    Segunda solución:

    3 – x = 0 → x = 3

    Ahora hacemos el siguiente cuadro para averiguar el signo que toma la función a la derecha y a la izquierda de las soluciones:

     

    –∞ < x < –3

    –3 < x < 3

    3 < x <  +∞ 

    Signo de  (3 + x)

    +

    +

    Signo de (3 – x)

    +

    +

    Signo de (3 + x)· (3 – x)

    +

     

    Los signos se han obtenido dando valores arbitrarios a x correspondientes a los distintos intervalos, por ejemplo: –4 (en primer intervalo), 0 (en el segundo intervalo) y 4 (en el tercer intervalo)

    Por tanto, la función se puede expresar de la siguiente forma:

    DERIVADAS LATERALES 01, 1

    Derivada por la izquierda en el punto x = 3:

    DERIVADAS LATERALES 01, 2

    Derivada por la derecha en el punto x = 3:

    DERIVADAS LATERALES 01, 3

    El primer límite es la pendiente de la semitangente a la curva a la izquierda de x = 3.

    El segundo límite es la pendiente de la semitangente a la curva a la derecha de x = 3.

     

     


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