Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Weierstrass 02

    Posted on abril 9th, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Dada la función:

    T WEIERSTRASS 02, 1

    a)  ¿Es continua en el intervalo (2, 3]?

    b)  ¿Está acotada en dicho intervalo?

    c)  ¿Tiene algún mínimo o máximo absolutos?

    d)  ¿Se contradice el teorema de Weierstrass?

     

     

    Solución:

    a)  Veamos para que valor de x el denominador de la fracción se anula.

    x – 2 = 0 → x = 2

    La función es continua en todo R–{2}, por tanto lo es en (2, 3].

    b)  La función no está acotada, pues:

    T WEIERSTRASS 02, 2

    c)  No tiene máximo absoluto, pues la función no está acotada superiormente.

    Averigüemos si tiene algún mínimo.

    T WEIERSTRASS 02, 3

    La función siempre es decreciente para cualquier valor de x, luego el mínimo en el intervalo (2, 3] es:

    f(3) = 1/(3 – 2) = 1

    d)  Teorema de Weierstrass:

    Si f(x) es continua en [a, b], entonces tiene un máximo y un mínimo absolutos (está acotada) en ese intervalo. O sea, existen sendos números, c y d, del intervalo [a, b] para los cuales se cumple que cualquiera que sea x perteneciente a [a, b] es f(c) ≤ f(x) ≤ f(d)

    Por tanto no se contradice dicho teorema, ya que el intervalo (2, 3] no es cerrado por ambos extremos.

     

     


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