Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Weierstrass 01

    Posted on abril 6th, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Sea la función f(x) = 1/(x + 2) definida en el intervalo [1, 4]. Decir si está o no acotada y si alcanza sus máximos y mínimos.

     

     

    Solución:

    Teorema de Weierstrass:

    Si f es continua en [a, b], entonces tiene un máximo y un mínimo absolutos (está acotada) en ese intervalo. O sea, existen sendos números, c y d, del intervalo [a, b] para los cuales se cumple que cualquiera que sea x  pertenecienta a [a, b] es f(c) ≤ f(x) ≤ f(d)

    Por lo tanto lo primero que debemos averiguar si f(x) es continua en [1, 4], para lo cual debemos averiguar cuando se anula el denominador de la fracción.

    x + 2 = 0 → x = –2

    La función f(x) es continua en todo R – {–2}. Por lo tanto también lo es en el intervalo [1, 4]. Luego, según el teorema de Weierstrass, f(x) alcanza su máximo y su mínimo y, por tanto, está acotada.

     

     

     


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