Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de los valores intermedios (Darboux) 03

    Posted on abril 2nd, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Comprueba que la función:

    DARBOUX 03, 1

    alcanza el valor 4 en el intervalo [–π/2, π/2].

     

     

    Solución:

    Teorema de los valores intermedios o propiedad de Darboux:

    Si una función f es continua en [a, b], entonces toma todos los valores intermedios entre f(a) y f(b).

    Es decir, cualquiera que sea el número k comprendido entre f(a) y f(b), existe un número c, a < c < b, tal que f(c) = k.

    La función f(x) es continua en todo R, pues el denominador de la fracción nunca se anula ya que sen x pertenece a [–1, 1], luego también lo es en [–π/2, π/2],

    DARBOUX 03, 2

    Por tanto, según el  teorema de los valores intermedios, la función recorre todo valor interior de (–π/2, π/2) y por tanto alcanza el valor 4.

    Este problema también se puede resolver aplicando el teorema de Bolzano:

    Sea la función:

    DARBOUX 03, 3

    F(x) es continua en [–π/2, π/2], pues el denominador de la fracción nunca se anula ya que sen x pertenece a [–1, 1].

    DARBOUX 03, 4

    Como se verifica el teorema de Bolzano, existe un número c perteneciente a [–π/2, π/2] tal que f(c) = 0.

    Por tanto:

    DARBOUX 03, 5

    Aunque el enunciado del problema no lo pide podemos intentar comprobar para qué valor de c, f(c) = 4.

    DARBOUX 03, 6

     

     

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