Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de los valores intermedios (Darboux) 02

    Posted on marzo 30th, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Sea la función:

    DARBOUX 02, 1

    ¿La función puede alcanzar el valor 3?

     

     

    Solución:

    Teorema de los valores intermedios o propiedad de Darboux:

    Si una función f es continua en [a, b], entonces toma todos los valores intermedios entre f(a) y f(b).

    Es decir, cualquiera que sea el número k comprendido entre f(a) y f(b), existe un número c, a < c < b, tal que f(c) = k.

    Estudiemos la continuidad de la función para lo cual averiguaremos si existe algún valor de x que anule el denominador de la fracción.

    3 + cos x = 0 → cos x = –3

    Para que se anule el denominador de la fracción el coseno de x ha de ser igual a –3, cosa que es imposible ya que cos x pertenece a [–1, 1], luego f(x) es continua en todo R.

    Busquemos un intervalo en donde las imágenes de sus extremos incluyan el valor 3.

    f(0) = 7/(3 + cos 0) = 7/4

    f(π) = 7/(3 + cos π) = 7/2

    Como f es continua en todo R  lo es en [0, π], por tanto, según el teorema de los valores intermedios, la función recorre todo valor interior de (7/4, 7/2) y por tanto alcanza el valor 3.

    Este problema también se puede resolver aplicando el teorema de Bolzano:

    Sea la función:

    DARBOUX 02, 2

    e impongamos la condición que se anula en [0, π].

    DARBOUX 02, 3

    F(x) es continua en [0, π], pues el denominador de la fracción nunca se anula ya que ya que cos x pertenece a [–1, 1], luego como se verifica el teorema de Bolzano, existe un número c perteneciente a (0, π) tal que F(c) = 0.

    Por tanto:

    DARBOUX 02, 4

     

     


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