Teorema de los valores intermedios (Darboux) 02

Sea la función:

¿La función puede alcanzar el valor 3?

Solución:

Teorema de los valores intermedios o propiedad de Darboux:

Si una función f es continua en [a, b], entonces toma todos los valores intermedios entre f(a) y f(b).

Es decir, cualquiera que sea el número k comprendido entre f(a) y f(b), existe un número c, a < c < b, tal que f(c) = k.

Estudiemos la continuidad de la función para lo cual averiguaremos si existe algún valor de x que anule el denominador de la fracción.

3 + cos x = 0 → cos x = –3

Para que se anule el denominador de la fracción el coseno de x ha de ser igual a –3, cosa que es imposible ya que cos x pertenece a [–1, 1], luego f(x) es continua en todo R.

Busquemos un intervalo en donde las imágenes de sus extremos incluyan el valor 3.

f(0) = 7/(3 + cos 0) = 7/4

f(π) = 7/(3 + cos π) = 7/2

Como f es continua en todo R  lo es en [0, π], por tanto, según el teorema de los valores intermedios, la función recorre todo valor interior de (7/4, 7/2) y por tanto alcanza el valor 3.

Este problema también se puede resolver aplicando el teorema de Bolzano:

Sea la función:

e impongamos la condición que se anula en [0, π].

F(x) es continua en [0, π], pues el denominador de la fracción nunca se anula ya que ya que cos x pertenece a [–1, 1], luego como se verifica el teorema de Bolzano, existe un número c perteneciente a (0, π) tal que F(c) = 0.

Por tanto: