Teorema de Bolzano 15

Dada la función f(x) = x³ + x² – cos πx, demuestra que existe un valor x = a positivo y menor que 2, que verifica f(a) = 3. Obtener dicho valor x = a con aproximación de una décima.

Solución:

Sea la función F(x) = f(x) – 3.

Tanteando tenemos que:

F(0) = 0 + 0 – cos 0 – 3 = –4 < 0

F(2) = 8 + 4 – cos 2π – 3 = 8 > 0

F(x) es continua en [0, 2], por ser suma de funciones continuas en dicho intervalo.

Como se verifica el teorema de Bolzano, existe un número a perteneciente a (0, 2) tal que F(a) = 0.

Por tanto:

F(a) = 0 → f(a) – 3 = 0 → f(a) = 3

f(1) = 1 + 1 – cos π = 3 → a = 1