Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Bolzano 14

    Posted on marzo 19th, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Demuestra que x7 + 3x + 3 = 0 tiene una única raíz real.

     

     

    Solución:

    Sea la función f(x) = x7 + 3x + 3.

    El enunciado del problema equivale a demostrar que f(x) se anula una sola vez en un punto de (a, b).

    La función f (x) es continua en todo R, por ser una función polinómica.

    f(–1) = (–1)7 + 3·(–1) + 3 = –1 < 0

    f(0) = 3 > 0

    Como se verifica el teorema de Bolzano, existe un número c perteneciente a (–1, 0) tal que f(c) = 0.

    Veamos si c es la única solución.

    Derivando la función f(x), tenemos:

    f’(x) = 3x2 + 3

    Como f’(x) es siempre positiva para todo x perteneciente a R, f(x) es siempre creciente en todo R, luego la única vez que corta al eje OX es en el punto predicho por Bolzano, por tanto la raíz  o solución es única.

     

     


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