Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Bolzano 11

    Posted on marzo 9th, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Dada la ecuación x3 + 3x + 2 = 0, justifica que tiene una raíz real y solo una, y calcúlala con una cifra decimal.

     

     

    Solución:

    Sea la función F(x) = x3 + 3x + 2.

    El enunciado del problema equivale a demostrar que f(x) se anula una sola vez en un punto de (a, b).

    La función f(x) es continua en todo , por ser una función polinómica.

    F(0) = 2 > 0

    F(–1) = (–1)3 + 3·(–1) + 2 = –2 < 0

    Como se verifica el teorema de Bolzano, existe un número c perteneciente a (–1, 0) tal que f(c) = 0.

    Veamos si c es la única solución.

    Derivando la función F(x) se obtiene:

    F’(x) = 3 x2 + 3

    Como F’(x) es siempre positiva para todo x perteneciente a R, F(x) es siempre creciente en todo R, luego la única vez que corta al eje OX es en el punto predicho por Bolzano, por tanto la raíz  o solución es única, cuya solución aproximada a las décimas es, por ejemplo:

    c = (–1 + 0)/2 = –0,5

    valor que se encuentra entre –1 y 0.

     

     

     


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