Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Bolzano 08

    Posted on febrero 26th, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Prueba que las gráficas de las funciones f(x) = ln x y g(x) = e–x se cortan en algún punto y localízalo aproximadamente.

     

     

    Solución:

    Las gráficas de la funciones f(x) y g(x) se cortan si f(x) = g(x), es decir, que ln x = e–x, o sea, que: ln x – e–x = 0

    Sea la función F(x) = ln x – e–x y tomemos, por ejemplo, el intervalo [1, 2].

    F(1) = ln 1 – e–1 = 0 – (1/e) < 0

    F(2) = ln 2 – e–2 = ln 2 – (1/e2) > 0

    La función F(x) es continua en [1, 2], por serlo también f y g, luego como se verifica el teorema de Bolzano, existe un número c perteneciente a (1, 2) tal que F(c) = 0.

    Por tanto:

    F(c) = 0 → ln x – e–x = 0 → ln x = e–x

    Como las gráficas se cortan para x = c, podemos asegurar que ambas funciones se cortan en un punto entre 1 y 2.

    Tomemos, por ejemplo, c = 1,5:

    F(1,5) = ln 1,5 – e–1,5 > 0

    Como el resultado es positivo el valor de c se encuentra entre 1 y 1,5.

    F(1,25) = ln 1,25 – e–1,25 < 0

    Ahora el resultado es negativo, luego el valor de c se encuentra entre 1,25 y 1,5.

    F(1,3) = ln 1,35 – e–1,3 < 0

    Como el resultado es negativo el valor de c se encuentra entre 1,3 y 1,5.

    F(1,31) = ln 1,31 – e–1,31 > 0

    Ahora el resultado es positivo, luego el valor de c se encuentra entre 1,3 y 1,31.

    Podríamos seguir estudiando el comportamiento del signo de las soluciones, para ir acotando el resultado, ya que éste se encontrará entre dos valores que den a la función resultados de distinto signo.

    Por tanto podemos decir que el valor de c, en donde las gráficas se cortan, está entre 1,3 y 1,31.

     

     


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