Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Bolzano 06

    Posted on febrero 19th, 2015 ManuelMiralles No comments

     

    Demuestra que si f es continua en [0, 1] y 0 < f(x) < 1, entonces existe un x0 perteneciente a [0,1] tal que f(x0) = x0.

     

     

    Solución:

    Sea la función: F(x) = f(x) – x

    F(x) es continua en [0, 1] por ser suma de funciones continuas en dicho intervalo.

     

    F(0) = f(0) – 0 > 0 ya que f(x) > 0

     

    F(1) = f(1) – 1 < 0 ya que f(x) < 1

     

    Como se verifica el teorema de Bolzano, existe un número cÎ(0, 1) tal que F(x0) = 0

    Por tanto:

    F(x0) = 0 → f(x0) – x0 = 0 → f(x0) = x0

     

     

     


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