Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Límite de una función real. Aplicaciones 03

    Posted on diciembre 22nd, 2014 ManuelMiralles No comments

     

    La calificación f(x) obtenida por un estudiante en cierto examen depende de las horas x de preparación a través de la función:

    APLICACIONES LIMITES 03, 1

    a)  Representa su gráfica.

    b)  ¿Tiene sentido afirmar que a más tiempo de preparación corresponde más calificación? Razónalo.

    c)  Contesta razonablemente si hay algún punto en que estudiar un poco más puede ser rentable.

    d)  ¿Se puede obtener la calificación 10? Justifica la respuesta.

     

     

    Solución:

    a)  Para representa la gráfica en el intervalo [0, 15] tenemos suficiente con dos puntos, ya que al ser una función lineal se trata de una recta.

     

    x = 0 → y = 0

     

    x = 15 → y = 3

     

    Para el estudio de la función si x > 15 primero expresaremos la fracción como suma de un entero y una fracción, ya que el numerador es del mismo grado que el del denominador.

     

    APLICACIONES LIMITES 03, 2

     

    Estamos ante una rama de una hipérbola cuya asíntota horizontal es y = 10.

     

    APLICACIONES LIMITES 03, 3

     

    Gráfica de la función:

     

    APLICACIONES LIMITES 03, 4

     

    b)  Aunque, según la gráfica, cuanto más tiempo de preparación se invierta se consigue más calificación, veamos si tiene sentido esta afirmación.

    Supongamos que se pueda invertir un tiempo infinito:

     

    APLICACIONES LIMITES 03, 5

     

    Resultado lógico ya que como se ha dicho y = 10 es la asíntota horizontal.

    Luego no tiene sentido afirmar que a más tiempo de preparación corresponde más calificación, pues a partir de 90 horas el resultado que se obtiene es muy pequeño y, además, nunca se conseguirá obtener un 10.

    c)  En “un poco más” que 15.

     

    APLICACIONES LIMITES 03, 6

     

    Si se estudia algo más de 15 horas se pasa de obtener una calificación de 3 a 6.

    d)  La calificación igual a 10 no se puede obtener, pues, como ya se ha comentado anteriormente, y = 10 es una asíntota horizontal, luego la gráfica se aproximará a ella tanto como se quiera pero no llegará a tocarla (tampoco se debe olvidar que el límite de la función cuando x tiende a infinito es 10).

     

     


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