Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • La parábola 04

    Posted on octubre 23rd, 2014 ManuelMiralles No comments

     

    Halla el vértice, foco, eje y la directriz de la parábola de ecuación y2 – 4y + 4x + 16 = 0.

     

     

    Solución:

    PARABOLA 04, 1

    Ecuación de la parábola:

    (y – b)2 = –2p (x – a)

    siendo (a, b) las coordenadas del vértice.

    Con la ecuación de la parábola dada en el enunciado del haremos la siguiente transformación, con el fin de expresarla de la forma anterior:

    y2 – 4y = (y + p)2 + q

    y2 – 4y = y2 + 2 p y + p2 + q

    –4 = 2p → p = –4/2 = –2

    p2 + q = 0 → (–2)2 + q = 0

    4 + q = 0 → q = –4

    y2 – 4y = (y – 2)2 – 4

    Sustituyendo en la ecuación inicial:

    (y – 2)2 – 4 + 4x + 16 = 0

    (y – 2)2 + 4x + 12 = 0

    (y – 2)2 = –4x – 12

    (y – 2)2 = –4 (x + 3)

    Comparando con la expresión inicial:

    a = –3,         b = 2,          p = 2

    Por tanto:

    Coordenadas del vértice:

    V(–3, 2)

    Coordenadas del foco:

    PARABOLA 04, 2

    F(–3 – (p/2), 2) = (–4, 2)

    Eje:

    y = 2 (recta horizontal)

    Directriz:

    x = –3 + (p/2) → x = –2 (recta vertical)

     

     


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