La parábola 04

Halla el vértice, foco, eje y la directriz de la parábola de ecuación y² – 4y + 4x + 16 = 0.

Solución:

Ecuación de la parábola:

(y – b)² = –2p (x – a)

siendo (a, b) las coordenadas del vértice.

Con la ecuación de la parábola dada en el enunciado del haremos la siguiente transformación, con el fin de expresarla de la forma anterior:

y² – 4y = (y + p)² + q

y² – 4y = y² + 2 p y + p² + q

–4 = 2p → p = –4/2 = –2

p² + q = 0 → (–2)² + q = 0

4 + q = 0 → q = –4

y² – 4y = (y – 2)² – 4

Sustituyendo en la ecuación inicial:

(y – 2)² – 4 + 4x + 16 = 0

(y – 2)² + 4x + 12 = 0

(y – 2)² = –4x – 12

(y – 2)² = –4 (x + 3)

Comparando con la expresión inicial:

a = –3,         b = 2,          p = 2

Por tanto:

Coordenadas del vértice:

V(–3, 2)

Coordenadas del foco:

F(–3 – (p/2), 2) = (–4, 2)

Eje:

y = 2 (recta horizontal)

Directriz:

x = –3 + (p/2) → x = –2 (recta vertical)