Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • La hipérbola 04

    Posted on octubre 9th, 2014 ManuelMiralles No comments

     

    Halla la ecuación de la hipérbola que tiene por ejes de simetría los ejes de coordenadas y que pasa por los puntos P(2, 3) y Q(7, 12). Calcula las coordenadas de los vértices y de los focos y la excentricidad.

     

     

    Solución:

    Ecuación reducida de la hipérbola:

    HIPERBOLA 01, 1

    Sustituyendo las coordenadas de P y de Q en la anterior expresión:

    P(2, 3) → (22/a2) – (32/b2) = 1

     (4/a2) – (9/b2) = 1 → 4 b2 – 9 a2 = a2 b2

    Q(7, 12) → (72/a2) – (122/b2) = 1

     (49/a2) – (144/b2) = 1 → 49 b2 – 144 a2 = a2 b2

    Como los segundos miembros de las ecuaciones obtenidas son iguales, tenemos que:

    4 b2 – 9 a2 = 49 b2 – 144 a2

     135 a2 = 45 b2 → b2 = 3 a2

    Sustituyendo en la primera ecuación se tiene:

    4·(3 a2) – 9 a2 = a2·(3 a2)

    12 a2 – 9 a2 = 3 a4

    3 a4 – 3 a2 = 0 → a4 – a2 = 0

    (a2 – 1)·a2 = 0

    Primera solución: a = 0

    Segunda solución:

    a2 – 1 = 0 → a2 = 1 → b2 = 3

    El valor a = 0 no sirve.

    Ecuación de la hipérbola:

    LA HIPERBOLA 04, 1

    Coordenadas de los vértices:

    LA HIPERBOLA 04, 2

    Coordenadas de los focos:

    HIPERBOLA 01, 2

    Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo de la figura:

    a2 + b2 = c2 → c2 = 1 + 3 = 4

     

    Excentricidad:

    e = c/a = 2/1 = 2

     

     

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