La elipse 09

Dada la curva 16x² + 9y² – 36y – 108 = 0 determinar si se trata de una cónica. En caso afirmativo decir de qué cónica se trata, y hallar todos sus elementos (centro, vértices, focos, ejes, asíntotas, directriz, excentricidad,…). En caso negativo decir qué figura geométrica (cónica degenerada) representa la ecuación.

Solución:

La gráfica de la ecuación Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 es una sección cónica o una cónica degenerativa. Si la gráfica es una cónica entonces se trata de:

1)  Una parábola si el discriminante B² – 4AC = 0.

2)  Una elipse si el discriminante B² – 4AC < 0.

3)  Una hipérbola si el discriminante B² – 4AC > 0.

Según la ecuación de la curva: 16x² + 9y² – 36y – 108 = 0, tenemos que:

A = 16, B = 0 y C = 9

Como el discriminante 0² – 4·16·9 < 0, tenemos una elipse o una elipse degenerada.

Agruparemos los términos:

9y² – 36y = 9·(y² – 4y)

y² – 4y = (y + p)² + q

y² – 4y = y² + 2 p y + p² + q

–4 = 2p ⇒ p = –4/2 = –2

p² + q = 0 ⇒ (–2)² + q = 0

4 + q = 0 ⇒ q = –4

y² + 2y = (y + 1)² – 1

9y² – 36y = 9·(y² – 4y) = 9·[(y – 2)² – 4] = 9·(y – 2)² – 36

Sustituyendo en la ecuación inicial:

16x² + 9y² – 36y – 108 = 16x² + 9·(y – 2)² – 36 – 108 = 0

16x² + 9·(y – 2)² – 144 = 0

16x² + 9·(y – 2)² = 144

Se trata de una elipse de eje principal paralelo al OY.

Elementos:

Comparando con la ecuación de la elipse:

tenemos que:

Centro:

(x₀, y₀) = (0, 2)

 Vértices:

A(0 + x₀, a + y₀) = (0+0, 4 + 2) = (0, 6)

A’(0 + x₀, a’ + y₀) = (0+0, –4 + 2) = (0, –2)

B(b + x₀, 0 + y₀) = (3+0, 0 + 2) = (3, 2)

B’(b’ + x₀, 0 + y₀) = (–3+0, 0 + 2) = (–3, 2)

Focos:

Excentricidad: