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La elipse 09
Posted on septiembre 25th, 2014 No commentsDada la curva 16x2 + 9y2 – 36y – 108 = 0 determinar si se trata de una cónica. En caso afirmativo decir de qué cónica se trata, y hallar todos sus elementos (centro, vértices, focos, ejes, asíntotas, directriz, excentricidad,…). En caso negativo decir qué figura geométrica (cónica degenerada) representa la ecuación.
Solución:
La gráfica de la ecuación Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 es una sección cónica o una cónica degenerativa. Si la gráfica es una cónica entonces se trata de:
1) Una parábola si el discriminante B2 – 4AC = 0.
2) Una elipse si el discriminante B2 – 4AC < 0.
3) Una hipérbola si el discriminante B2 – 4AC > 0.
Según la ecuación de la curva: 16x2 + 9y2 – 36y – 108 = 0, tenemos que:
A = 16, B = 0 y C = 9
Como el discriminante 02 – 4·16·9 < 0, tenemos una elipse o una elipse degenerada.
Agruparemos los términos:
9y2 – 36y = 9·(y2 – 4y)
y2 – 4y = (y + p)2 + q
y2 – 4y = y2 + 2 p y + p2 + q
–4 = 2p ⇒ p = –4/2 = –2
p2 + q = 0 ⇒ (–2)2 + q = 0
4 + q = 0 ⇒ q = –4
y2 + 2y = (y + 1)2 – 1
9y2 – 36y = 9·(y2 – 4y) = 9·[(y – 2)2 – 4] = 9·(y – 2)2 – 36
Sustituyendo en la ecuación inicial:
16x2 + 9y2 – 36y – 108 = 16x2 + 9·(y – 2)2 – 36 – 108 = 0
16x2 + 9·(y – 2)2 – 144 = 0
16x2 + 9·(y – 2)2 = 144
Se trata de una elipse de eje principal paralelo al OY.
Elementos:
Comparando con la ecuación de la elipse:
tenemos que:
Centro:
(x0, y0) = (0, 2)
Vértices:
A(0 + x0, a + y0) = (0+0, 4 + 2) = (0, 6)
A’(0 + x0, a’ + y0) = (0+0, –4 + 2) = (0, –2)
B(b + x0, 0 + y0) = (3+0, 0 + 2) = (3, 2)
B’(b’ + x0, 0 + y0) = (–3+0, 0 + 2) = (–3, 2)
Focos:
Excentricidad:
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