Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • La elipse 09

    Posted on septiembre 25th, 2014 ManuelMiralles No comments

     

    Dada la curva 16x2 + 9y2 – 36y – 108 = 0 determinar si se trata de una cónica. En caso afirmativo decir de qué cónica se trata, y hallar todos sus elementos (centro, vértices, focos, ejes, asíntotas, directriz, excentricidad,…). En caso negativo decir qué figura geométrica (cónica degenerada) representa la ecuación.

     

     

    Solución:

    La gráfica de la ecuación Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 es una sección cónica o una cónica degenerativa. Si la gráfica es una cónica entonces se trata de:

    1)  Una parábola si el discriminante B2 – 4AC = 0.

    2)  Una elipse si el discriminante B2 – 4AC < 0.

    3)  Una hipérbola si el discriminante B2 – 4AC > 0.

    Según la ecuación de la curva: 16x2 + 9y2 – 36y – 108 = 0, tenemos que:

    A = 16, B = 0 y C = 9

    Como el discriminante 02 – 4·16·9 < 0, tenemos una elipse o una elipse degenerada.

    Agruparemos los términos:

    9y2 – 36y = 9·(y2 – 4y)

    y2 – 4y = (y + p)2 + q

    y2 – 4y = y2 + 2 p y + p2 + q

    –4 = 2p ⇒ p = –4/2 = –2

    p2 + q = 0 ⇒ (–2)2 + q = 0

    4 + q = 0 ⇒ q = –4

    y2 + 2y = (y + 1)2 – 1

    9y2 – 36y = 9·(y2 – 4y) = 9·[(y – 2)2 – 4] = 9·(y – 2)2 – 36

    Sustituyendo en la ecuación inicial:

    16x2 + 9y2 – 36y – 108 = 16x2 + 9·(y – 2)2 – 36 – 108 = 0

    16x2 + 9·(y – 2)2 – 144 = 0

    16x2 + 9·(y – 2)2 = 144

    ELIPSE 09,1

    Se trata de una elipse de eje principal paralelo al OY.

    Elementos:

    ELIPSE 09,2

    Comparando con la ecuación de la elipse:

    ELIPSE 09,3

    tenemos que:

    Centro:

    (x0, y0) = (0, 2)

     Vértices:

    A(0 + x0, a + y0) = (0+0, 4 + 2) = (0, 6)

    A’(0 + x0, a’ + y0) = (0+0, –4 + 2) = (0, –2)

    B(b + x0, 0 + y0) = (3+0, 0 + 2) = (3, 2)

    B’(b’ + x0, 0 + y0) = (–3+0, 0 + 2) = (–3, 2)

    Focos:

    ELIPSE 09, 4

    Excentricidad:

    ELIPSE 09, 5

     

     


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