Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • La elipse 07

    Posted on septiembre 18th, 2014 ManuelMiralles No comments

     

    Dada la curva 16x2 + 9y2 + 32x – 36y + 52 = 0 determinar si se trata de una cónica. En caso afirmativo decir de qué cónica se trata, y hallar todos sus elementos (centro, vértices, focos, ejes, asíntotas, directriz, excentricidad,….). En caso negativo decir qué figura geométrica (cónica degenerada) representa la ecuación.

     

     

    Solución:

    La gráfica de la ecuación Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 es una sección cónica o una cónica degenerativa. Si la gráfica es una cónica entonces se trata de:

    1)  Una parábola si el discriminante B2 – 4AC = 0.

    2)  Una elipse si el discriminante B2 – 4AC < 0.

    3)  Una hipérbola si el discriminante B2 – 4AC > 0.

    Según la ecuación de la curva: 16x2 + 9y2 + 32x – 36y + 52 = 0, tenemos que:

    A = 16, B = 0 y C = 9

    Como el discriminante 02 – 4·16·9 < 0, tenemos una elipse o una elipse degenerada.

    Agruparemos los términos:

    16x2 + 32x = 16·(x2 + 2x)

    x2 + 2x = (x + p)2 + q

    Desarrollando el segundo miembro de la anterior ecuación, obtenemos:

    x2 + 2x = x2 + 2 p x + p2 + q

    Si ambos polinomios son iguales los coeficientes de los términos del mismo grado también lo son, es decir:

    2 = 2p ⇒ p = 1

    p2 + q = 0 ⇒ 12 + q = 0

    q = –1

    Por tanto:

    16x2 + 32x = 16·(x2 + 2x) = 16·[(x + 1)2 – 1] = 16·(x + 1)2 – 16

    Ahora realizaremos el mismo proceso con los términos que poseen la incógnita y:

    9y2 – 36y = 9·(y2 – 4y)

    y2 – 4y = (y + p)2 + q

    y2 – 4y = y2 + 2 p y + p2 + q

    –4 = 2p ⇒ p = –4/2 = –2

    p2 + q = 0 ⇒ (–2)2 + q = 0

    4 + q = 0 ⇒ q = –4

    y2 + 2y = (y + 1)2 – 1

    9y2 – 36y = 9·(y2 – 4y) = 9·[(y – 2)2 – 4] = 9·(y – 2)2 – 36

    Sustituyendo en la ecuación inicial:

    16x2 + 9y2 + 32x – 36y + 52 = 16·(x + 1)2 – 16 + 9·(y – 2)2 – 36 + 52 = 0

    16·(x + 1)2 + 9·(y – 2)2 = 0

    ELIPSE 07, 1

    Se trata de una elipse degenerada a un punto; los dos sumandos son positivos o nulos así que para dar 0 tienen que ser los dos cero, es decir: x = –1 e y = 2.

    Por tanto se trata del punto (–1, 2).

    Para ser una elipse en el segundo miembro debería haber un uno en vez de un cero, ya que la ecuación de una elipse es:

    ELIPSE 07, 2

     

     


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