Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • La elipse 02

    Posted on septiembre 1st, 2014 ManuelMiralles No comments

     

     

    Dada la elipse x2 + 2y2 = 18, halla:

    a)  Vértices, focos y la excentricidad.

    b)  La ecuación de la tangente a la elipse en el punto de abscisa 2 y ordenada positiva.

     

     

     

    Solución:

    a)  Primero vamos a poner la ecuación de la elipse en forma canónica, es decir:

    ELIPSE 01, 1

    Dividiremos todos los términos de la ecuación dada por 18, ya que necesitamos que el segundo miembro de la ecuación sea un 1.

    ELIPSE 02, 1

    Comparado con la ecuación canónica de la elipse, tenemos que:        

    Vértices:

    ELIPSE 02, 2

    ELIPSE 02, 3

    Focos:

    ELIPSE 01, 4

    Aplicando el teorema de Pitágoras a uno de los triángulos de la figura anterior:

    c2 = a2 – b2

    ELIPSE 02, 4

    Excentricidad:

    ELIPSE 02, 5

    b)  Dato: x0 = 2.

    Ecuación de la tangente a una curva:

    y – y0 = f’(x0)·(x – x0)

    Ahora hallaremos el valor de y0 teniendo en cuenta que el punto (x0, y0) pertenece a la elipse.

    ELIPSE 02, 6

    Como la ordenada ha de ser positiva:

    ELIPSE 02, 7

    Ahora derivaremos expresión de la elipse en forma implícita.

    ELIPSE 02, 8

    Ecuación de la tangente:

    ELIPSE 02, 9

     

     

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