El Sapo Sabio
Ejercicios resueltos de Matemáticas

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La elipse 01
Posted on agosto 28th, 2014 No commentsDeduce, de forma razonada, la ecuación reducida de la elipse:
Solución:
Según la definición de elipse se debe cumplir:
a2·[(x – c)2 + y2] = a4 – 2a2xc + x2c2
a2·(x2 – 2xc + c2 + y2) = a4 – 2a2xc + x2c2
a2x2 – 2 a2xc + a2c2 + a2y2 = a4 – 2a2xc + x2c2
a2x2 + a2c2 + a2y2 = a4 + x2c2
a2x2 – x2c2 + a2y2 = a4 – a2c2
(a2 – c2)·x2 + a2y2 = (a2 – c2)·a2
Aplicando el teorema de Pitágoras a uno de los triángulos de la figura anterior:
b2 = a2 – c2
Sustituyendo:
b2x2 + a2y2 = b2a2
Dividiendo por b2a2 cada uno de los términos de la anterior expresión:
(Según la definición de elipse: r’ + r = 2 a, pero, en este caso, r’ = r, luego r’ = r = a)
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