Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • La elipse 01

    Posted on agosto 28th, 2014 ManuelMiralles No comments

     

    Deduce, de forma razonada, la ecuación reducida de la elipse:

    ELIPSE 01, 1

     

     

    Solución:

    ELIPSE 01, 2

    Según la definición de elipse se debe cumplir:

    ELIPSE 01, 3

    a2·[(x – c)2 + y2] = a4 – 2a2xc + x2c2

    a2·(x2 – 2xc + c2 + y2) = a4 – 2a2xc + x2c2

    a2x2 – 2 a2xc + a2c2 + a2y2 = a4 – 2a2xc + x2c2

    a2x2 + a2c2 + a2y2 = a4 + x2c2

    a2x2 – x2c2 + a2y2 = a4 – a2c2

    (a2 – c2)·x2 + a2y2 = (a2 – c2)·a2

    ELIPSE 01, 4

    Aplicando el teorema de Pitágoras a uno de los triángulos de la figura anterior:

    b2 = a2 – c2

    Sustituyendo:

    b2x2 + a2y2 = b2a2

    Dividiendo por b2a2 cada uno de los términos de la anterior expresión:

    ELIPSE 01, 5

    (Según la definición de elipse: r’ + r = 2 a, pero, en este caso, r’ = r, luego r’ = r = a)

     

     

     

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