La elipse 01

Deduce, de forma razonada, la ecuación reducida de la elipse:

Solución:

Según la definición de elipse se debe cumplir:

a²·[(x – c)² + y²] = a⁴ – 2a²xc + x²c²

a²·(x² – 2xc + c² + y²) = a⁴ – 2a²xc + x²c²

a²x² – 2 a²xc + a²c² + a²y² = a⁴ – 2a²xc + x²c²

a²x² + a²c² + a²y² = a⁴ + x²c²

a²x² – x²c² + a²y² = a⁴ – a²c²

(a² – c²)·x² + a²y² = (a² – c²)·a²

Aplicando el teorema de Pitágoras a uno de los triángulos de la figura anterior:

b² = a² – c²

Sustituyendo:

b²x² + a²y² = b²a²

Dividiendo por b²a² cada uno de los términos de la anterior expresión:

(Según la definición de elipse: r’ + r = 2 a, pero, en este caso, r’ = r, luego r’ = r = a)