La circunferencia 10

Dada la circunferencia de ecuación C: x² + y² – 4x + 2y = 0, se pide:

a)  Calcula el centro y el radio.

b)  Hallar la ecuación de la recta tangente a C en el punto P(4, 0).

c)  Encuentra la ecuación de la circunferencia que es concéntrica con C y es tangente a la recta de ecuación: 2x – y + 2 = 0.

Solución:

a)  Pasaremos a forma reducida la ecuación general de la circunferencia, haciendo cuadrados:

x² – 4x = (x + p)² + q

Desarrollando el segundo miembro de la anterior ecuación, obtenemos:

x² – 4x = x² + 2 p x + p² + q

Si ambos polinomios son iguales los coeficientes de los términos del mismo grado también lo son, es decir:

–4 = 2p ⇒ p = –4/2 = –2

p² + q = 0 ⇒ (–2)² + q = 0

4 + q = 0 ⇒ q = –4

Por tanto:

x² – 4x = (x – 2)² – 4

Haciendo lo mismo con los términos que poseen la incógnita y:

y² + 2y = (y + p)² + q

y² + 2y = y² + 2 p y + p² + q

2 = 2p ⇒ p = 2/2 = 1

p² + q = 0 ⇒ 1² + q = 0

1 + q = 0 ⇒ q = –1

y² + 2y = (y + 1)² – 1

Sustituyendo en la ecuación inicial:

(x – 2)² – 4 + (y + 1)² – 1 = 0

(x – 2)² + (y + 1)² = 5

Hemos obtenido la circunferencia de centro (2, –1) y radio:

b)  De los infinitos radios que posee la circunferencia, uno de ellos es perpendicular a la recta tangente a ella en el punto P(4, 0).

Pendiente de la recta que contiene a dicho radio:

m = (0 + 1)/(4 – 2) = 1/2

Pendiente de la recta tangente:

m’ = –1/m = –2

Ecuación punto pendiente de la recta tangente:

y – y₀ = m (x – x₀)

y – 0 = –2·(x – 4)

Ecuación general:

y = –2x + 8

2x + y – 8 = 0

c)  Ecuación de la circunferencia concéntrica a C:

x² + y² – 4x + 2y + F = 0

Por ser tangente la recta: 2x – y + 2 = 0 tendrá un punto de contacto con la circunferencia buscada, por tanto el siguiente sistema deberá tener una solución:

x² + (2x + 2)² – 4x + 2·(2x + 2) + F = 0

x² + 4x² + 8x + 4 – 4x + 4x + 4 + F = 0

5x² + 8x + 8 + F = 0

Como la ecuación anterior únicamente ha de tener una solución, se debe cumplir que el discriminante de la ecuación de segundo grado ha de ser igual a cero, es decir:

b² – 4ac = 0

8² – 4·5·(8 + F) = 0

64 – 160 – 20F = 0

–20F = –96

F = 96/20 = 24/5

Ecuación general de la recta concéntrica a C:

x² + y² – 4x + 2y + (24/5) = 0