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La circunferencia 10
Posted on agosto 25th, 2014 No commentsDada la circunferencia de ecuación C: x2 + y2 – 4x + 2y = 0, se pide:
a) Calcula el centro y el radio.
b) Hallar la ecuación de la recta tangente a C en el punto P(4, 0).
c) Encuentra la ecuación de la circunferencia que es concéntrica con C y es tangente a la recta de ecuación: 2x – y + 2 = 0.
Solución:
a) Pasaremos a forma reducida la ecuación general de la circunferencia, haciendo cuadrados:
x2 – 4x = (x + p)2 + q
Desarrollando el segundo miembro de la anterior ecuación, obtenemos:
x2 – 4x = x2 + 2 p x + p2 + q
Si ambos polinomios son iguales los coeficientes de los términos del mismo grado también lo son, es decir:
–4 = 2p ⇒ p = –4/2 = –2
p2 + q = 0 ⇒ (–2)2 + q = 0
4 + q = 0 ⇒ q = –4
Por tanto:
x2 – 4x = (x – 2)2 – 4
Haciendo lo mismo con los términos que poseen la incógnita y:
y2 + 2y = (y + p)2 + q
y2 + 2y = y2 + 2 p y + p2 + q
2 = 2p ⇒ p = 2/2 = 1
p2 + q = 0 ⇒ 12 + q = 0
1 + q = 0 ⇒ q = –1
y2 + 2y = (y + 1)2 – 1
Sustituyendo en la ecuación inicial:
(x – 2)2 – 4 + (y + 1)2 – 1 = 0
(x – 2)2 + (y + 1)2 = 5
Hemos obtenido la circunferencia de centro (2, –1) y radio:
b) De los infinitos radios que posee la circunferencia, uno de ellos es perpendicular a la recta tangente a ella en el punto P(4, 0).
Pendiente de la recta que contiene a dicho radio:
m = (0 + 1)/(4 – 2) = 1/2
Pendiente de la recta tangente:
m’ = –1/m = –2
Ecuación punto pendiente de la recta tangente:
y – y0 = m (x – x0)
y – 0 = –2·(x – 4)
Ecuación general:
y = –2x + 8
2x + y – 8 = 0
c) Ecuación de la circunferencia concéntrica a C:
x2 + y2 – 4x + 2y + F = 0
Por ser tangente la recta: 2x – y + 2 = 0 tendrá un punto de contacto con la circunferencia buscada, por tanto el siguiente sistema deberá tener una solución:
x2 + (2x + 2)2 – 4x + 2·(2x + 2) + F = 0
x2 + 4x2 + 8x + 4 – 4x + 4x + 4 + F = 0
5x2 + 8x + 8 + F = 0
Como la ecuación anterior únicamente ha de tener una solución, se debe cumplir que el discriminante de la ecuación de segundo grado ha de ser igual a cero, es decir:
b2 – 4ac = 0
82 – 4·5·(8 + F) = 0
64 – 160 – 20F = 0
–20F = –96
F = 96/20 = 24/5
Ecuación general de la recta concéntrica a C:
x2 + y2 – 4x + 2y + (24/5) = 0
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