Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • La circunferencia 10

    Posted on agosto 25th, 2014 ManuelMiralles No comments

     

    Dada la circunferencia de ecuación C: x2 + y2 – 4x + 2y = 0, se pide:

    a)  Calcula el centro y el radio.

    b)  Hallar la ecuación de la recta tangente a C en el punto P(4, 0).

    c)  Encuentra la ecuación de la circunferencia que es concéntrica con C y es tangente a la recta de ecuación: 2x – y + 2 = 0.

     

     

    Solución:

    a)  Pasaremos a forma reducida la ecuación general de la circunferencia, haciendo cuadrados:

    x2 – 4x = (x + p)2 + q

    Desarrollando el segundo miembro de la anterior ecuación, obtenemos:

    x2 – 4x = x2 + 2 p x + p2 + q

    Si ambos polinomios son iguales los coeficientes de los términos del mismo grado también lo son, es decir:

    –4 = 2p ⇒ p = –4/2 = –2

    p2 + q = 0 ⇒ (–2)2 + q = 0

    4 + q = 0 ⇒ q = –4

    Por tanto:

    x2 – 4x = (x – 2)2 – 4

    Haciendo lo mismo con los términos que poseen la incógnita y:

    y2 + 2y = (y + p)2 + q

    y2 + 2y = y2 + 2 p y + p2 + q

    2 = 2p ⇒ p = 2/2 = 1

    p2 + q = 0 ⇒ 12 + q = 0

    1 + q = 0 ⇒ q = –1

    y2 + 2y = (y + 1)2 – 1

    Sustituyendo en la ecuación inicial:

    (x – 2)2 – 4 + (y + 1)2 – 1 = 0

    (x – 2)2 + (y + 1)2 = 5

    Hemos obtenido la circunferencia de centro (2, –1) y radio:

    CIRCUNFERENCIA 10, 1

    b)  De los infinitos radios que posee la circunferencia, uno de ellos es perpendicular a la recta tangente a ella en el punto P(4, 0).

    Pendiente de la recta que contiene a dicho radio:

    CIRCUNFERENCIA 10, 2

    m = (0 + 1)/(4 – 2) = 1/2

    Pendiente de la recta tangente:

    m’ = –1/m = –2

    Ecuación punto pendiente de la recta tangente:

    y – y0 = m (x – x0)

    y – 0 = –2·(x – 4)

    Ecuación general:

    y = –2x + 8

    2x + y – 8 = 0

    c)  Ecuación de la circunferencia concéntrica a C:

    x2 + y2 – 4x + 2y + F = 0

    Por ser tangente la recta: 2x – y + 2 = 0 tendrá un punto de contacto con la circunferencia buscada, por tanto el siguiente sistema deberá tener una solución:

    CIRCUNFERENCIA 10, 3

    x2 + (2x + 2)2 – 4x + 2·(2x + 2) + F = 0

    x2 + 4x2 + 8x + 4 – 4x + 4x + 4 + F = 0

    5x2 + 8x + 8 + F = 0

    Como la ecuación anterior únicamente ha de tener una solución, se debe cumplir que el discriminante de la ecuación de segundo grado ha de ser igual a cero, es decir:

    b2 – 4ac = 0

    82 – 4·5·(8 + F) = 0

    64 – 160 – 20F = 0

    –20F = –96

    F = 96/20 = 24/5

    Ecuación general de la recta concéntrica a C:

    x2 + y2 – 4x + 2y + (24/5) = 0

     

     


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