Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Inecuaciones con fracciones algebraicas y una incógnita 04

    Posted on agosto 17th, 2014 Miralles No comments

    Resuelve la siguiente inecuación:

    [2x/(x – 1)] > [x/(x + 7)]

     

     

    Solución:

    Primero operaremos la inecuación hasta transformarla en una única fracción.

    [2x/(x – 1)] > [x/(x + 7)]

    [2x/(x – 1)] – [x/(x + 7)] > 0

    El m. c. m de los denominadores es (x – 1)·(x + 7)

    [2x(x+7)/(x – 1)(x + 7)] – [x(x – 1)/(x – 1)(x + 7)] > 0

    [(2x2 + 14x)/(x – 1)(x + 7)] – [(x2 – x)/(x – 1)(x + 7)] > 0

    (2x2 + 14x – x2 + x)/(x – 1)(x + 7)] > 0

    (x2 + 15x)/(x – 1)(x + 7)] > 0

    x(x + 15)/(x – 1)(x + 7)] > 0

    Se calculan las raíces o soluciones del numerador y del denominador de la fracción:

     x = 0; x + 15 = 0 ⇒ x = –15; x – 1 = 0 ⇒ x = 1; x + 7 = 0 ⇒ x = –7

    Ahora, en la siguiente tabla, se estudia el signo de cada uno de los factores y el de la fracción dando un valor arbitrario a x según el intervalo que se está estudiando, por ejemplo: en el primer intervalo se puede hacer x = –16, luego el resultado para la primera columna es negativo, para la segunda también (–16 + 15), los mismo ocurre para x – 1 (–16 – 1) y también para x + 7 (–16 + 7). Así se hace con todas las columnas.

    El signo del cociente (fracción) es positivo si el número de signos negativo es par y negativo si es impar.

     

     

    -∞ <x<–15

    –15<x<–7

    –7<x<0

    0<x<1

    1<x< +∞

    x

    +

    +

    x + 15

    +

    +

    +

    +

    x – 1

    +

    x + 7

    +

    +

    +

    Cociente

    +

    +

    +

    Por tanto, como la fracción ha de ser mayor que cero, las soluciones se encuentran en los intervalos cuyo cociente tiene signo positivo.

     

     

     

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