La circunferencia 07

Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: A(1, 0) y B(0, 2), sabiendo que su centro está sobre la recta: x – y – 1 = 0.

Solución:

Sea el punto (a, b) el centro de la circunferencia. Como se encuentra en la recta x – y – 1 = 0, tenemos que:

a – b – 1 = 0 ⇒ a = b + 1

Ecuación de la circunferencia:

(x – b – 1)² + (y – b)² = r²

Sustituyendo los puntos A(1, 0) y B(0, 2) en la anterior ecuación tenemos las siguientes ecuaciones:

A(1, 0) ⇒ (1 – b – 1)² + (0 – b)² = r²

b² + b² = r² ⇒ 2b² = r²

B(0, 2) ⇒ (0 – b – 1)² + (2 – b)² = r²

b² + 2b + 1 + 4 – 4b + b² = r² ⇒ 2b² – 2b + 5 = r²

Como los segundos miembros de las anteriores ecuaciones son iguales, también lo serán los primeros, luego:

2b² = 2b² – 2b + 5 ⇒ 2b = 5 ⇒ b = 5/2

r² = 2·(5/2)² = 2·(25/4) = 25/2

a = (5/2) + 1 = 7/2

Ecuación de la circunferencia:

[x – (7/2)]² + [y – (5/2)]² = 25/2