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La circunferencia 04
Posted on julio 28th, 2014 No commentsAverigua cuáles de las ecuaciones siguientes representan circunferencias y en caso afirmativo halla sus elementos:
a)
x2 + y2 – 2x + 6y – 4 = 0
b)
x2 + y2 – 1 = 0
c)
x2 + y2 + 1 = 0
d)
x2 + y2 – 2x = 0
e)
x2 + y2 – 2x + 4y + 6 = 0
f)
36(x2 + y2) + 36x + 24y = 23
g)
x2 + y2 – 4x + 6y + 9 = 0
h)
3x2 + 3y2 + 6x – 2y – 5 = 0
Solución:
Sea la ecuación de segundo grado: Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0, para que represente una circunferencia se debe cumplir que:
a)
x2 + y2 – 2x + 6y – 4 = 0
A = B = 1, C = 0 y (–2)2 + 62 – 4·(–4) > 0
Luego es una circunferencia.
Coordenadas del centro de la circunferencia (a, b):
–2a = D ⇒ –2a = –2 ⇒ a = –2/(–2) = 1
–2b = E ⇒ –2b = 6 ⇒ b = 6/(–2) = –3
(1, –3)
Radio de la circunferencia:
También se puede hacer de la siguiente forma:
x2 – 2x = (x + p)2 + q
Desarrollando el segundo miembro de la anterior ecuación, obtenemos:
x2 – 2x = x2 + 2 p x + p2 + q
Si ambos polinomios son iguales los coeficientes de los términos del mismo grado también lo son, es decir:
–2 = 2p ⇒ p = –2/2 = –1
p2 + q = 0 ⇒ (–1)2 + q = 0
1 + q = 0 ⇒ q = –1
Por tanto:
x2 – 2x = (x – 1)2 – 1
Haciendo lo mismo con los términos que poseen la incógnita y:
y2 + 6y = (y + p)2 + q
y2 + 6y = y2 + 2 p y + p2 + q
6 = 2p ⇒ p = 6/2 = 3
p2 + q = 0 ⇒ 32 + q = 0
9 + q = 0 ⇒ q = –9
y2 + 6y = (y + 3)2 – 9
Sustituyendo en la ecuación inicial:
(x – 1)2 – 1 + (y + 3)2 – 9 – 4 = 0
(x – 1)2 + (y + 3)2 = 14
Hemos obtenido la circunferencia de centro (1, –3) y radio:
b)
x2 + y2 – 1 = 0 ⇒ x2 + y2 = 1
Centro = (0, 0), r = 1, luego es una circunferencia.
c)
x2 + y2 + 1 = 0 ⇒ x2 + y2 = –1
En este caso r = –1, cosa que no puede ser, luego la ecuación dada no es una circunferencia.
d)
x2 + y2 – 2x = 0
A = B = 1, C = 0 y (–2)2 > 0, luego es una circunferencia.
Coordenadas del centro de la circunferencia (a, b):
–2a = D ⇒ –2a = –2 ⇒ a = –2/(–2) = 1
–2b = E ⇒ –2b = 0 ⇒ b = 0/(–2) = 0
(1, 0)
Radio de la circunferencia:
e)
x2 + y2 – 2x + 4y + 6 = 0
A = B = 1, C = 0 y (–2)2 + 42 – 4·6 < 0, luego no es una circunferencia.
f)
36(x2 + y2) + 36x + 24y = 23
Dividiendo todos los términos de la ecuación por 36, tenemos que:
x2 + y2 + x + (24/36)y – (23/26) = 0
A = B = 1, C = 0 y 12 + (24/36)2 – 4· (–23/26) > 0, luego es una circunferencia.
Coordenadas del centro de la circunferencia (a, b):
–2a = D ⇒ –2a = 1 ⇒ a = –1/2
–2b = E ⇒ –2b = 24/36 ⇒ b = 24/(–72) = –1/3
(–1/2, –1/3)
Radio de la circunferencia:
g)
x2 + y2 – 4x + 6y + 9 = 0
A = B = 1, C = 0 y (–4)2 + 62 – 4·9 > 0, luego es una circunferencia.
Coordenadas del centro de la circunferencia (a, b):
–2a = D ⇒ –2a = –4 ⇒ a = –4/(–2) = 2
–2b = E ⇒ –2b = 6 ⇒ b = 6/(–2) = –3
(2, –3)
Radio de la circunferencia:
h)
3x2 + 3y2 + 6x – 2y – 5 = 0 ⇒ x2 + y2 + 2x – (2/3)y – (5/3) = 0
A = B = 1, C = 0 y 22 + (–2/3)2 – 4·(–5/3) > 0, luego es una circunferencia.
Coordenadas del centro de la circunferencia (a, b):
–2a = 2 ⇒ –2a = 2 ⇒ a = 2/(–2) = –1
–2b = E ⇒ –2b = –2/3 ⇒ b = –2/(–6) = 1/3
(–1, 1/3)
Radio de la circunferencia:
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