La circunferencia 04

Averigua cuáles de las ecuaciones siguientes representan circunferencias y en caso afirmativo halla sus elementos:

Solución:               

Sea la ecuación de segundo grado: Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0, para que represente una circunferencia se debe cumplir que:

a)    

x² + y² – 2x + 6y – 4 = 0

A = B = 1, C = 0 y (–2)² + 6² – 4·(–4) > 0

Luego es una circunferencia.

Coordenadas del centro de la circunferencia (a, b):

–2a = D ⇒ –2a = –2 ⇒ a = –2/(–2) = 1

–2b = E ⇒ –2b = 6 ⇒ b = 6/(–2) = –3

(1, –3)

Radio de la circunferencia:

También se puede hacer de la siguiente forma:

x² – 2x = (x + p)² + q

Desarrollando el segundo miembro de la anterior ecuación, obtenemos:

x² – 2x = x² + 2 p x + p² + q

Si ambos polinomios son iguales los coeficientes de los términos del mismo grado también lo son, es decir:

–2 = 2p ⇒ p = –2/2 = –1

p² + q = 0 ⇒ (–1)² + q = 0

1 + q = 0 ⇒ q = –1

Por tanto:

x² – 2x = (x – 1)² – 1

Haciendo lo mismo con los términos que poseen la incógnita y:

y² + 6y = (y + p)² + q

y² + 6y = y² + 2 p y + p² + q

6 = 2p ⇒ p = 6/2 = 3

p² + q = 0 ⇒ 3² + q = 0

9 + q = 0 ⇒ q = –9

y² + 6y = (y + 3)² – 9

Sustituyendo en la ecuación inicial:

(x – 1)² – 1 + (y + 3)² – 9 – 4 = 0

(x – 1)² + (y + 3)² = 14

Hemos obtenido la circunferencia de centro (1, –3) y radio:

b)

x² + y² – 1 = 0 ⇒ x² + y² = 1

Centro = (0, 0), r = 1, luego es una circunferencia.

c)

x² + y² + 1 = 0 ⇒ x² + y² = –1

En este caso r = –1, cosa que no puede ser, luego la ecuación dada no es una circunferencia.

d)

x² + y² – 2x = 0

A = B = 1, C = 0 y (–2)² > 0, luego es una circunferencia.     

Coordenadas del centro de la circunferencia (a, b):

–2a = D ⇒ –2a = –2 ⇒ a = –2/(–2) = 1

–2b = E ⇒ –2b = 0 ⇒ b = 0/(–2) = 0

(1, 0)

Radio de la circunferencia:

e)      

x² + y² – 2x + 4y + 6 = 0

                   A = B = 1, C = 0 y (–2)² + 4² – 4·6 < 0, luego no es una circunferencia.

f)

36(x² + y²) + 36x + 24y = 23

Dividiendo todos los términos de la ecuación por 36, tenemos que:

x² + y² + x + (24/36)y – (23/26) = 0

                   A = B = 1, C = 0 y 1² + (24/36)² – 4· (–23/26) > 0, luego es una circunferencia.

Coordenadas del centro de la circunferencia (a, b):

–2a = D ⇒ –2a = 1 ⇒ a = –1/2

–2b = E ⇒ –2b = 24/36 ⇒ b = 24/(–72) = –1/3

(–1/2, –1/3)

Radio de la circunferencia:

g)

x² + y² – 4x + 6y + 9 = 0

                   A = B = 1, C = 0 y (–4)² + 6² – 4·9 > 0, luego es una circunferencia.

Coordenadas del centro de la circunferencia (a, b):

–2a = D ⇒ –2a = –4 ⇒ a = –4/(–2) = 2

–2b = E ⇒ –2b = 6 ⇒ b = 6/(–2) = –3

(2, –3)

Radio de la circunferencia:

h)

3x² + 3y² + 6x – 2y – 5 = 0 ⇒ x² + y² + 2x – (2/3)y – (5/3) = 0

              A = B = 1, C = 0 y 2² + (–2/3)² – 4·(–5/3) > 0, luego es una circunferencia.

Coordenadas del centro de la circunferencia (a, b):

–2a = 2 ⇒ –2a = 2 ⇒ a = 2/(–2) = –1

–2b = E ⇒ –2b = –2/3 ⇒ b = –2/(–6) = 1/3

(–1, 1/3)

Radio de la circunferencia: