Problema del transporte 02

Desde dos almacenes, A y B, se tiene que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad. El almacén A dispone de 10 toneladas de fruta diarias y el B, de 15 toneladas, que reparten en su totalidad. Los dos primeros mercados necesitan, diariamente, 8 toneladas de fruta, mientras que el tercero necesita 9 toneladas diarias. El coste del transporte desde cada almacén a cada mercado viene dado por los datos del cuadro. Planifica el transporte para que el coste sea mínimo.

Solución:

Sean x las toneladas de fruta que hay que enviar de A a M₁ e y las toneladas de madera que hay que enviar de B a M₂, por tanto:  

Las restricciones del problema se obtienen al obligar a que todas las anteriores cantidades sean positivas.

La función de coste:

f(x,y) = 10·x + 15·y + 20·[10 – (x + y)] + 15·(8 – x) + 10·(8 – y) + 10·(x + y – 1) =

= 10x + 15y + 200 – 20x – 20y + 120 – 15x + 80 – 10y + 10x + 10y – 10

f(x,y) = – 15x – 5y + 390 = 390 – (15x + 5y)

f(x,y) = 390 – 5·(3x + y)

El coste será mínimo cuando: 3x + y sea máximo.

Ahora debemos buscar la región de validez.

La  región de validez para x mayor o igual que cero e y mayor o igual que cero, es todo el primer cuadrante.

Hallamos la región que verifica la inecuación:

Trazamos la recta: x = 8.

En este caso la región de validez se encuentra a la izquierda de la recta trazada.

Hallamos la región que verifica la inecuación:

Trazamos la recta: y = 8.

En este caso la región de validez se encuentra por debajo de la recta trazada.

Hallamos la región que verifica la inecuación:

Trazamos la recta: x + y = 10 ⇒ y = 10 – x.

Tabla de valores:

x = 0 ⇒ y = 10

x = 10 ⇒ y = 0

Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0,0):

El punto satisface la inecuación luego la región buscada está por debajo de la recta.

Hallamos la región que verifica la inecuación:

Trazamos la recta: x + y = 1 ⇒ y = 1 – x.

Tabla de valores:

x = 0 ⇒ y = 1

x = 1 ⇒ y = 0

Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0,0):

El punto no satisface la inecuación luego la región buscada está por encima de la recta.

Recinto de validez:

Trazamos la recta: 3x + y = 0 (Procedente de la función f(x,y) = 390 – 5·(3x +y))

Recta: y = (–1/3)x

Tabla de valores:

x = 0 ⇒ y = 0

x = 3 ⇒ y = –1

Las soluciones del máximo de la función objetivo f(x,y) = ax + by, si a·b > 0, son las coordenadas del vértice por donde pasa la paralela a la recta: ax + by = 0 y deja por debajo al recinto de validez. Si a·b < 0 el recinto de validez debe quedar por encima de la recta.

La recta paralela a: 3x + y = 0 (3x + y + C = 0) que toca al recinto de validez en un punto y lo deja por debajo de ella (ya que se trata de hallar de un máximo: 3·1 > 0) es la que pasa por el punto de corte de la recta: x = 8 y la recta: y = 10 – x, es decir, por el punto (8, 2). Las coordenadas de este punto son los valores pedidos. Por tanto:

Para minimizar los costes del transporte, se han de enviar de A 8 toneladas a M₁ y 2 toneladas a M₂, y de B se han de enviar 2 toneladas a M₂ y 9 toneladas a M₃.