Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Problema del transporte 02

    Posted on julio 14th, 2014 Miralles No comments

     

    Desde dos almacenes, A y B, se tiene que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad. El almacén A dispone de 10 toneladas de fruta diarias y el B, de 15 toneladas, que reparten en su totalidad. Los dos primeros mercados necesitan, diariamente, 8 toneladas de fruta, mientras que el tercero necesita 9 toneladas diarias. El coste del transporte desde cada almacén a cada mercado viene dado por los datos del cuadro. Planifica el transporte para que el coste sea mínimo.

     

     

    M1

    M2

    M3

     

     

    A

    10

    15

    20

     

     

    B

    15

    10

    10

     

     

     

    Solución:

    Sean x las toneladas de fruta que hay que enviar de A a M1 e y las toneladas de madera que hay que enviar de B a M2, por tanto:  

     

     

    M1(8t)

    M2(8t)

    M3(9t)

    A(10t)

    x

    y

    10 – (x + y)

    B(15t)

    8 – x

    8 – y

    9 – [10 – (x + y)] = x + y – 1

    Las restricciones del problema se obtienen al obligar a que todas las anteriores cantidades sean positivas.

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 02, 1

    La función de coste:

    f(x,y) = 10·x + 15·y + 20·[10 – (x + y)] + 15·(8 – x) + 10·(8 – y) + 10·(x + y – 1) =

    = 10x + 15y + 200 – 20x – 20y + 120 – 15x + 80 – 10y + 10x + 10y – 10

    f(x,y) = – 15x – 5y + 390 = 390 – (15x + 5y)

    f(x,y) = 390 – 5·(3x + y)

    El coste será mínimo cuando: 3x + y sea máximo.

    Ahora debemos buscar la región de validez.

    La  región de validez para x mayor o igual que cero e y mayor o igual que cero, es todo el primer cuadrante.

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 02, 2

    Trazamos la recta: x = 8.

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 02, 3

    En este caso la región de validez se encuentra a la izquierda de la recta trazada.

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 02, 4

    Trazamos la recta: y = 8.

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 02, 5

    En este caso la región de validez se encuentra por debajo de la recta trazada.

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 02, 6

    Trazamos la recta: x + y = 10 ⇒ y = 10 – x.

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 10

    x = 10 ⇒ y = 0

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 02, 7

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0,0):

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 02, 8

    El punto satisface la inecuación luego la región buscada está por debajo de la recta.

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 02, 9

    Trazamos la recta: x + y = 1 ⇒ y = 1 – x.

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 1

    x = 1 ⇒ y = 0

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 02, 10

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0,0):

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 02, 11

    El punto no satisface la inecuación luego la región buscada está por encima de la recta.

    Recinto de validez:

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 02, 12

    Trazamos la recta: 3x + y = 0 (Procedente de la función f(x,y) = 390 – 5·(3x +y))

    Recta: y = (–1/3)x

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 0

    x = 3 ⇒ y = –1

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 02, 13

    Las soluciones del máximo de la función objetivo f(x,y) = ax + by, si a·b > 0, son las coordenadas del vértice por donde pasa la paralela a la recta: ax + by = 0 y deja por debajo al recinto de validez. Si a·b < 0 el recinto de validez debe quedar por encima de la recta.

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 02, 14

    La recta paralela a: 3x + y = 0 (3x + y + C = 0) que toca al recinto de validez en un punto y lo deja por debajo de ella (ya que se trata de hallar de un máximo: 3·1 > 0) es la que pasa por el punto de corte de la recta: x = 8 y la recta: y = 10 – x, es decir, por el punto (8, 2). Las coordenadas de este punto son los valores pedidos. Por tanto:

     

     

     

    M1(8t)

    M2(8t)

    M3(9t)

    A(10t)

    8

    2

    0

    B(15t)

    0

    6

    9

    Para minimizar los costes del transporte, se han de enviar de A 8 toneladas a M1 y 2 toneladas a M2, y de B se han de enviar 2 toneladas a M2 y 9 toneladas a M3.

     

     


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