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Problema del transporte 02
Posted on julio 14th, 2014 No commentsDesde dos almacenes, A y B, se tiene que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad. El almacén A dispone de 10 toneladas de fruta diarias y el B, de 15 toneladas, que reparten en su totalidad. Los dos primeros mercados necesitan, diariamente, 8 toneladas de fruta, mientras que el tercero necesita 9 toneladas diarias. El coste del transporte desde cada almacén a cada mercado viene dado por los datos del cuadro. Planifica el transporte para que el coste sea mínimo.
M1
M2
M3
A
10
15
20
B
15
10
10
Solución:
Sean x las toneladas de fruta que hay que enviar de A a M1 e y las toneladas de madera que hay que enviar de B a M2, por tanto:
M1(8t)
M2(8t)
M3(9t)
A(10t)
x
y
10 – (x + y)
B(15t)
8 – x
8 – y
9 – [10 – (x + y)] = x + y – 1
Las restricciones del problema se obtienen al obligar a que todas las anteriores cantidades sean positivas.
La función de coste:
f(x,y) = 10·x + 15·y + 20·[10 – (x + y)] + 15·(8 – x) + 10·(8 – y) + 10·(x + y – 1) =
= 10x + 15y + 200 – 20x – 20y + 120 – 15x + 80 – 10y + 10x + 10y – 10
f(x,y) = – 15x – 5y + 390 = 390 – (15x + 5y)
f(x,y) = 390 – 5·(3x + y)
El coste será mínimo cuando: 3x + y sea máximo.
Ahora debemos buscar la región de validez.
La región de validez para x mayor o igual que cero e y mayor o igual que cero, es todo el primer cuadrante.
Hallamos la región que verifica la inecuación:
Trazamos la recta: x = 8.
En este caso la región de validez se encuentra a la izquierda de la recta trazada.
Hallamos la región que verifica la inecuación:
Trazamos la recta: y = 8.
En este caso la región de validez se encuentra por debajo de la recta trazada.
Hallamos la región que verifica la inecuación:
Trazamos la recta: x + y = 10 ⇒ y = 10 – x.
Tabla de valores:
x = 0 ⇒ y = 10
x = 10 ⇒ y = 0
Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0,0):
El punto satisface la inecuación luego la región buscada está por debajo de la recta.
Hallamos la región que verifica la inecuación:
Trazamos la recta: x + y = 1 ⇒ y = 1 – x.
Tabla de valores:
x = 0 ⇒ y = 1
x = 1 ⇒ y = 0
Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0,0):
El punto no satisface la inecuación luego la región buscada está por encima de la recta.
Recinto de validez:
Trazamos la recta: 3x + y = 0 (Procedente de la función f(x,y) = 390 – 5·(3x +y))
Recta: y = (–1/3)x
Tabla de valores:
x = 0 ⇒ y = 0
x = 3 ⇒ y = –1
Las soluciones del máximo de la función objetivo f(x,y) = ax + by, si a·b > 0, son las coordenadas del vértice por donde pasa la paralela a la recta: ax + by = 0 y deja por debajo al recinto de validez. Si a·b < 0 el recinto de validez debe quedar por encima de la recta.
La recta paralela a: 3x + y = 0 (3x + y + C = 0) que toca al recinto de validez en un punto y lo deja por debajo de ella (ya que se trata de hallar de un máximo: 3·1 > 0) es la que pasa por el punto de corte de la recta: x = 8 y la recta: y = 10 – x, es decir, por el punto (8, 2). Las coordenadas de este punto son los valores pedidos. Por tanto:
M1(8t)
M2(8t)
M3(9t)
A(10t)
8
2
0
B(15t)
0
6
9
Para minimizar los costes del transporte, se han de enviar de A 8 toneladas a M1 y 2 toneladas a M2, y de B se han de enviar 2 toneladas a M2 y 9 toneladas a M3.
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