Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Problema del transporte 01

    Posted on julio 10th, 2014 Miralles No comments

     

    Para abastecer de madera a tres aserraderos, A1, A2 y A3, hay dos bosques, B1 y B2, que producen 26 toneladas y 30 toneladas, respectivamente. Las necesidades de cada aserradero son: 20, 22 y 14 toneladas, respectivamente. Si los costes de transporte por tonelada de los bosques a los aserraderos son, en cientos de euros, los que se indican en la tabla adjunta, propón el transporte con el coste mínimo.

     

    A1

    A2

    A3

    B1

    1

    3

    1

    B2

    2

    1

    1

     

     

    Solución:

    Sean x las toneladas de madera que hay que enviar de B1 a A1 e y las toneladas de madera que hay que enviar de B1 a A2, por tanto:  

     

    A1(20t)

    A2(22t)

    A3(14t)

    B1(26t)

    x

    y

    26 – (x + y)

    B2(30t)

    20 – x

    22 – y

    14 – [26 – (x + y)] = x + y – 12

    Las restricciones del problema se obtienen al obligar a que todas las anteriores cantidades sean positivas.

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 01, 1

    La función de coste:

    f(x,y) = 1·x + 3·y + 1·[26 – (x + y)] + 2·(20 – x) + 1·(22 – y) + 1·( x + y – 12) =

    = x + 3y + 26 – x – y + 40 – 2x + 22 – y + x + y – 12 =

    f(x,y) = –x + 2y + 76 = 76 – (x – 2y) 

    El coste será mínimo cuando x – 2y sea máximo.

    Ahora debemos buscar la región de validez.

    La  región de validez para x mayor o igual que cero e y mayor o igual que cero, es todo el primer cuadrante.

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 01, 2

    Trazamos la recta: x = 20.

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 01, 3

    En este caso la región de validez se encuentra a la izquierda de la recta trazada.

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 01, 4

    Trazamos la recta: y = 22.

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 01, 5

    En este caso la región de validez se encuentra por debajo de la recta trazada.

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 01, 6

    Trazamos la recta: x + y = 26 ⇒ y = 26 – x.

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 26

    y = 0 ⇒ x = 26

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 01, 7

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0, 0):

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 01, 8

    El punto satisface la inecuación luego la región buscada está por debajo de la recta.

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 01, 9

    Trazamos la recta: x + y = 12 ⇒ y = 12 – x.

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 12

    y = 0 ⇒ x = 12

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 01, 10

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0, 0):

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 01, 11

    El punto no satisface la inecuación luego la región buscada está por encima de la recta.

    Recinto de validez:

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 01, 12

    Trazamos la recta: x – 2y = 0 (Procedente de la función f(x,y) = 76 – (x – 2y)).

    Recta: y = (1/2)x

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 0

    x = 24 ⇒ y = 12

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 01, 13

    Las soluciones del máximo de la función objetivo f(x,y) = ax + by, si a·b > 0, son las coordenadas del vértice por donde pasa la paralela a la recta: ax + by = 0 y deja por debajo al recinto de validez. Si a·b < 0 el recinto de validez debe quedar por encima de la recta.

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 01, 14

    La recta paralela a x – 2y = 0 (x – 2y + C = 0) que toca al recinto de validez en un punto y lo deja por encima de ella (ya que se trata de hallar de un máximo: 1·(–2) < 0) es la que pasa por el punto de corte de la recta x = 20 y el eje de abscisas, es decir, por el punto ( 20, 0). Las coordenadas de este punto son los valores pedidos. Por tanto:

     

    A1(20t)

    A2(22t)

    A3(14t)

    B1(26t)

    20

    0

    26 – 20 = 6

    B2(30t)

    0

    22

    20 – 12 = 8

     

     

    Para minimizar los costes del transporte, se han de enviar de B1 20 toneladas a A1 y 6 toneladas a A3, y de B2 se han de enviar 22 toneladas a A2 y 8 toneladas a A3.

     

     

     


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