Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Programación lineal. Aplicaciones 04

    Posted on julio 7th, 2014 Miralles No comments

     

    Una empresa constructora dispone de dos tipos de camiones A y B y quiere transportar 100 tm de material al lugar de una obra. Sabiendo que dispone de 6 camiones del tipo A con una capacidad de 15 tm y con un costo de 40 € por viaje y de 10 camiones del tipo B con una capacidad de 5 tm y con un costo de 30 € por viaje, se pide:

    a)  El número posible de camiones de cada tipo que puede usar (solución gráfica)

    b)  El número de camiones de cada tipo que debe usar para que el coste sea mínimo y el valor de dicho coste.

     

     

    Solución:

    a)  Datos:

    Tipo de camión

    Capacidad en tm

    Camiones

    Costo

    Número de camiones

    A

    15

    6

    40

    x

    B

    5

    10

    30

    y

    Totales

    100

    Restricciones según el enunciado:

    Función objetivo:

    f(x, y) = 40x + 30y

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    Trazamos la recta: 3x + y = 20 → y = 20 – 3x.

    Tabla de valores:

    x = 0 → y = 20

    y = 0 → x = 20/3

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0, 0):

    0 + 0 ≥ 20

    El punto no satisface la inecuación luego la región buscada está por encima de la recta.

    Hallamos la región que verifica las inecuaciones:

           0 x ≤ 6          y          0 y ≤ 10                      

    Para ello trazaremos las rectas x = 6 e y = 10 junto con la que ya tenemos dibujada.

    De acuerdo con las inecuaciones anteriores, la región buscada se encuentra entre las rectas y = 10 y x = 6.

    El recinto de validez está limitado por las dos rectas anteriores y por la recta y = 20 – 3x.

    La solución de este apartado son los puntos del recinto de validez cuyas coordenadas son números naturales, los cuales se pueden hallar de la siguiente forma:

    De la ecuación 3x + y = 20 tenemos que x = (20 – y)/3

    Si y = 10 entonces x = 10/3 valor que no nos sirve pues no es un número natural, pero x si puede tomar los valores 4, 5 y 6 que sí son naturales.

    Por tanto:

    Si x = 4, y = 20 – 3·4 = 8 → (4, 8)

    Si x = 5, y = 20 – 3·5 = 5 → (5, 5)

    Si x = 6, y = 20 – 3·6 = 2 → (6, 2) y también (6, 10)

    Por consiguiente el número posible de camiones de cada tipo que puede usar son:

    4 del tipo A y 8 del tipo B, o 5 del tipo A y 5 del tipo B, o 6 del tipo A y 2 del tipo B, o 6 del tipo A y 10 del tipo B.

    b)  Para hallar el coste mínimo trazamos la recta: 4x +3y = 0 (Procedente de la función f(x, y) = 40x + 30y)

    La recta paralela a 4x +3y = 0 que toca al recinto de validez en un punto y lo deja encima de ella, ya que se trata de hallar de un mínimo y es la que pasa por el punto de corte de las rectas: 3x + y = 20 y x = 6. Las coordenadas de este punto (6, 2) son los valores pedidos.

    El coste mínimo se consigue cuando se usan 6 camiones del tipo A y 2 camiones del tipo B.

    Para hallar el importe del coste mínimo utilizaremos la función objetivo.

    f(6, 2) = 40·6 + 30·2 = 300 €

     

     

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