Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Programación lineal. Aplicaciones 03

    Posted on julio 3rd, 2014 Miralles No comments

     

    Un cliente de un Banco dispone de 18000 € para invertir. El Banco ofrece dos tipos de fondos A y B. El tipo A tiene una rentabilidad del 12% y unas limitaciones legales de 7200 € de inversión máxima. El tipo B tiene una rentabilidad del 8% sin limitación. Si el cliente invierte en B, como máximo  invierte el doble de lo invertido en A.

    a)  ¿Qué cantidad de dinero debe invertir en cada tipo para obtener el beneficio máximo?

    b)  ¿Cuál será el valor del beneficio?

     

     

    Solución:

    Con el fin de facilitar los cálculos y poder visualizar las gráficas con más comodidad trabajaremos en miles de euros.

    Capital invertido en fondos del tipo A = x

    Capital invertido en fondos del tipo B = y

    Restricciones según el enunciado:

    P L APLICACIONES, 1

    Función objetivo:

    f(x, y) = 0,12x + 0,08y, o también: f(x, y) = 3x + 2y

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    P L APLICACIONES, 2

    Trazamos la recta: x + y = 18 ⇒ y = 18 – x

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 18

    x = 18 ⇒ y = 0

    P L APLICACIONES, 3

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0, 0):

    P L APLICACIONES, 4

    El punto satisface la inecuación luego la región buscada está por debajo de la recta.

    P L APLICACIONES, 5

     

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

                P L APLICACIONES, 6      

    Para ello trazaremos la recta x = 7,2 junto con la que ya tenemos trazada.

    P L APLICACIONES, 7

    De acuerdo con las inecuaciones anteriores, la región buscada se encuentra entre las rectas x = 0 (el eje Y) y x = 7,5.

    P L APLICACIONES, 8

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    P L APLICACIONES, 9                  

    Para ello trazaremos las rectas y = 2x junto con las que ya tenemos trazadas.

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 0

    x = 9 ⇒ y = 18

    P L APLICACIONES, 16

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (5, 5):

    P L APLICACIONES, 10

    El punto satisface la inecuación luego la región buscada está por debajo de la recta.

    P L APLICACIONES, 11

    Recinto de validez:

    P L APLICACIONES, 12

    Por último representamos la recta: 3x + 2y = 0 (Procedente de la función objetivo f(x, y) = 3x + 2y).

    Recta: y = (–3/2)x

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 0

    x = 6 ⇒ y = –9

    P L APLICACIONES, 13

    Las soluciones del máximo de la función objetivo f(x, y) = ax + by, si a·b > 0, son las coordenadas del vértice del recinto de validez por donde pasa la paralela a la recta ax + by = 0 y deja por debajo a dicho recinto. Si a·b < 0 el recinto de validez debe quedar por encima de la recta.

    P L APLICACIONES, 14

    La recta paralela a 3x + 2y = 0 que pasa por el vértice A tiene en común con el polígono de soluciones factibles sólo el punto A (10·8 > 0 y el recinto de validez queda por debajo). Las coordenadas de este vértice son los valores pedidos.

    P L APLICACIONES, 15

    a)  Para obtener el beneficio máximo se debe invertir 7200 € en fondos del tipo A y 10800 € en fondos del tipo B.

    b)  El valor del benefició será:

    f(7200, 10800) = 0,12·7200 + 0,08·10800 = 1728 €

     

     


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