Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Programación lineal. Aplicaciones 02

    Posted on junio 30th, 2014 Miralles No comments

     

    Un comerciante dispone de 500 jamones, 400 botellas de vino y 225 bolas de queso con las que confecciona dos tipos de lotes de regalo A y B. El lote A consta de un jamón y 2 botellas de vino, mientras que el B consta de 2 jamones, 1 botella de vino y 1 bola de queso. Por cada lote de tipo A obtiene un beneficio de 20 euros y 30 euros por cada uno de tipo B.

    a)  Cuántos debe confeccionar de cada tipo para maximizar sus beneficios.

    b)  ¿Cuál es el beneficio máximo obtenido?

     

     

    Solución:

    a)   

    Tipo de lote

    Número de lotes

    Jamón

    Vino

    Queso

    Beneficio (€)

    A

    x

    1

    2

    20

    B

    y

    2

    1

    1

    30

    Total

    x + y

    500

    400

    225

    20x + 30 y

    Restricciones según el enunciado:

    OPT APLIC 02, 1

    Función objetivo:

    f(x, y) = 20x + 30y

    Antes de responder a los dos apartados, hallaremos la región de validez.

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    OPT APLIC 02, 2

    Trazamos la recta: x + 2 y = 500 ⇒ x = 500 – 2y

    Tabla de valores:

    y = 0 ⇒ x = 500

    y = 250 ⇒ x = 0

    OPT APLIC 02, 3

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0, 0):

    OPT APLIC 02, 4

    El punto satisface la inecuación luego la región buscada está por debajo de la recta.

    OPT APLIC 02, 5

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    OPT APLIC 02, 6

    Trazamos la recta: 2x + y = 400 ⇒ y = 400 – 2x

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 400

    x = 200 ⇒ y = 0

    OPT APLIC 02, 7

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0, 0):

    OPT APLIC 02, 8

    El punto satisface la inecuación luego la región buscada está por debajo de la recta.

    OPT APLIC 02, 9

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    OPT APLIC 02, 10

    Trazamos la recta: y = 225

    OPT APLIC 02, 11

    En este caso la región de validez se encuentra por debajo de la recta trazada ya que y ha de ser menor que 225.

    OPT APLIC 02, 12

    La  región de validez para

    OPT APLIC 02, 13

    es todo el primer cuadrante.

    Recinto de validez:

    OPT APLIC 02, 14

    Trazamos la recta: 20x + 30y = 0 (Procedente de la función f(x , y))

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 0

    x = 300 ⇒ y = –200

    OPT APLIC 02, 15

    Las soluciones del máximo de la función objetivo f(x, y) = ax + b, si a·b > 0, son las coordenadas del vértice por donde pasa la paralela a la recta ax + by = 0 y deja por debajo al recinto de validez. Si a·b < 0 el recinto de validez debe quedar por encima de la recta.

    OPT APLIC 02, 16

    La recta paralela a 20x + 30 y = 0 (20x + 30y + C = 0) que toca al recinto de validez en un punto y lo deja debajo de ella (ya que se trata de hallar de un máximo y 20·30 > 0) es la que pasa por el punto de corte de las rectas: x + 2y y 2x + y = 400. Las coordenadas de este punto son los valores pedidos.

    OPT APLIC 02, 17

    x = 500 – 400 = 100

    Para conseguir el máximo beneficio se han confeccionar 100 lotes A y 200 lotes B.

    b)  Beneficio máximo obtenido:

    f(100, 200) = 20·100 + 30·200 = 8000 €

     

     


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