Programación lineal. Aplicaciones 02

Un comerciante dispone de 500 jamones, 400 botellas de vino y 225 bolas de queso con las que confecciona dos tipos de lotes de regalo A y B. El lote A consta de un jamón y 2 botellas de vino, mientras que el B consta de 2 jamones, 1 botella de vino y 1 bola de queso. Por cada lote de tipo A obtiene un beneficio de 20 euros y 30 euros por cada uno de tipo B.

a)  Cuántos debe confeccionar de cada tipo para maximizar sus beneficios.

b)  ¿Cuál es el beneficio máximo obtenido?

Solución:

a)   

Restricciones según el enunciado:

Función objetivo:

f(x, y) = 20x + 30y

Antes de responder a los dos apartados, hallaremos la región de validez.

Hallamos la región que verifica la inecuación:

Trazamos la recta: x + 2 y = 500 ⇒ x = 500 – 2y

Tabla de valores:

y = 0 ⇒ x = 500

y = 250 ⇒ x = 0

Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0, 0):

El punto satisface la inecuación luego la región buscada está por debajo de la recta.

Hallamos la región que verifica la inecuación:

Trazamos la recta: 2x + y = 400 ⇒ y = 400 – 2x

Tabla de valores:

x = 0 ⇒ y = 400

x = 200 ⇒ y = 0

Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0, 0):

El punto satisface la inecuación luego la región buscada está por debajo de la recta.

Hallamos la región que verifica la inecuación:

Trazamos la recta: y = 225

En este caso la región de validez se encuentra por debajo de la recta trazada ya que y ha de ser menor que 225.

La  región de validez para

es todo el primer cuadrante.

Recinto de validez:

Trazamos la recta: 20x + 30y = 0 (Procedente de la función f(x , y))

Tabla de valores:

x = 0 ⇒ y = 0

x = 300 ⇒ y = –200

Las soluciones del máximo de la función objetivo f(x, y) = ax + b, si a·b > 0, son las coordenadas del vértice por donde pasa la paralela a la recta ax + by = 0 y deja por debajo al recinto de validez. Si a·b < 0 el recinto de validez debe quedar por encima de la recta.

La recta paralela a 20x + 30 y = 0 (20x + 30y + C = 0) que toca al recinto de validez en un punto y lo deja debajo de ella (ya que se trata de hallar de un máximo y 20·30 > 0) es la que pasa por el punto de corte de las rectas: x + 2y y 2x + y = 400. Las coordenadas de este punto son los valores pedidos.

x = 500 – 400 = 100

Para conseguir el máximo beneficio se han confeccionar 100 lotes A y 200 lotes B.

b)  Beneficio máximo obtenido:

f(100, 200) = 20·100 + 30·200 = 8000 €