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Programación lineal. Aplicaciones 02
Posted on junio 30th, 2014 No commentsUn comerciante dispone de 500 jamones, 400 botellas de vino y 225 bolas de queso con las que confecciona dos tipos de lotes de regalo A y B. El lote A consta de un jamón y 2 botellas de vino, mientras que el B consta de 2 jamones, 1 botella de vino y 1 bola de queso. Por cada lote de tipo A obtiene un beneficio de 20 euros y 30 euros por cada uno de tipo B.
a) Cuántos debe confeccionar de cada tipo para maximizar sus beneficios.
b) ¿Cuál es el beneficio máximo obtenido?
Solución:
a)
Tipo de lote
Número de lotes
Jamón
Vino
Queso
Beneficio (€)
A
x
1
2
–
20
B
y
2
1
1
30
Total
x + y
500
400
225
20x + 30 y
Restricciones según el enunciado:
Función objetivo:
f(x, y) = 20x + 30y
Antes de responder a los dos apartados, hallaremos la región de validez.
Hallamos la región que verifica la inecuación:
Trazamos la recta: x + 2 y = 500 ⇒ x = 500 – 2y
Tabla de valores:
y = 0 ⇒ x = 500
y = 250 ⇒ x = 0
Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0, 0):
El punto satisface la inecuación luego la región buscada está por debajo de la recta.
Hallamos la región que verifica la inecuación:
Trazamos la recta: 2x + y = 400 ⇒ y = 400 – 2x
Tabla de valores:
x = 0 ⇒ y = 400
x = 200 ⇒ y = 0
Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0, 0):
El punto satisface la inecuación luego la región buscada está por debajo de la recta.
Hallamos la región que verifica la inecuación:
Trazamos la recta: y = 225
En este caso la región de validez se encuentra por debajo de la recta trazada ya que y ha de ser menor que 225.
La región de validez para
es todo el primer cuadrante.
Recinto de validez:
Trazamos la recta: 20x + 30y = 0 (Procedente de la función f(x , y))
Tabla de valores:
x = 0 ⇒ y = 0
x = 300 ⇒ y = –200
Las soluciones del máximo de la función objetivo f(x, y) = ax + b, si a·b > 0, son las coordenadas del vértice por donde pasa la paralela a la recta ax + by = 0 y deja por debajo al recinto de validez. Si a·b < 0 el recinto de validez debe quedar por encima de la recta.
La recta paralela a 20x + 30 y = 0 (20x + 30y + C = 0) que toca al recinto de validez en un punto y lo deja debajo de ella (ya que se trata de hallar de un máximo y 20·30 > 0) es la que pasa por el punto de corte de las rectas: x + 2y y 2x + y = 400. Las coordenadas de este punto son los valores pedidos.
x = 500 – 400 = 100
Para conseguir el máximo beneficio se han confeccionar 100 lotes A y 200 lotes B.
b) Beneficio máximo obtenido:
f(100, 200) = 20·100 + 30·200 = 8000 €
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