Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Programación lineal. Aplicaciones 01

    Posted on junio 26th, 2014 Miralles No comments

     

    Un banco dispone de 18 millones de euros para ofrecer préstamos de riesgo alto y medio, con rendimiento del 14% y 7%, respectivamente. Sabiendo que debe dedicar al menos 4 millones de euros a préstamos de riesgo medio y que el dinero invertido en alto y medio riesgo debe estar a lo sumo a razón de 4 a 5, determina cuánto debe dedicarse a cada uno de los tipos de préstamo para maximizar el beneficio y calcular éste.

     

     

    Solución:

    Millones de euros invertidos en préstamos de riesgo alto  = x . Rendimiento 14%.

    Millones de euros invertidos en préstamos de riesgo medio  = y. Rendimiento 7%.

    Restricciones según el enunciado:

    P L APLICACIONES 01, 1

    Función objetivo:

    f(x, y) = 0,14x + 0,07y (en millones de euros), o también: f(x, y) = 2x + y

    Método analítico:

    Primero hallaremos los vértices de la región de validez.

    P L APLICACIONES 01, 2

    x + 4 = 18 ⇒ x = 14 ⇒ (14, 4)

    Debemos comprobar si las soluciones halladas verifican la tercera restricción.

    P L APLICACIONES 01, 3

    En este caso (14, 4) no es un vértice del recinto de validez ya que no se verifica la tercera restricción.

    P L APLICACIONES 01, 4

    x + (5/4)x = 18 ⇒ (9/4)x = 18 ⇒ x = 8

    y = (5/4)·8 = 10

    Las soluciones halladas verifican la segunda y la cuarta restricción ya que:

    P L APLICACIONES 01, 5

    Por tanto (8, 10) es un vértice del recinto de validez.

    P L APLICACIONES 01, 6

    y = 18 ⇒ (0, 18)

    Debemos comprobar si las soluciones halladas verifican la segunda y la tercera restricciones.

    P L APLICACIONES 01, 7

    Luego (0, 18) sí es un vértice del recinto de validez ya que verifica ambas restricciones.

    P L APLICACIONES 01, 8

    4 = (5/4)x ⇒ x = 16/5 ⇒ (16/5, 4)

    Comprobemos si las soluciones encontradas verifican la primera y la cuarta restricciones.

    P L APLICACIONES 01, 9

    Luego (16/5, 4) sí es un vértice pues verifica ambas restricciones.

    P L APLICACIONES 01, 10

    Comprobemos si las soluciones encontradas verifican la primera y la tercera restricciones.

    P L APLICACIONES 01, 11

    Luego (0, 4) sí es un vértice pues verifica ambas restricciones.

    P L APLICACIONES 01, 12

    Comprobemos si las soluciones encontradas verifican la primera y la segunda restricciones.

    P L APLICACIONES 01, 13

    Por tanto (0, 0) no es un vértice pues no verifica la segunda restricción.

    Averigüemos cuál de los vértices hallados hace máxima la función objetivo:

    f(8, 10) = 2·8 + 10 = 26

    f(0, 18) = 2·0 + 18 = 18

    f(16/5, 4) = 2·(16/5) + 4 = 52/5 = 10,4

    f(0, 4) = 2·0 + 4 = 4

    La función objetivo alcanza su máximo para: x = 8, y = 10.

    Para que el beneficio sea máximo se han de invertir 8 millones de euros en préstamos de riesgo alto y 10 millones de euros en préstamos de riesgo medio.

    Beneficio máximo = 0,14·8 + 0,07·10 = 1,82 millones de euros.

    Método gráfico:

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    P L APLICACIONES 01, 14

     

    Trazamos la recta: x + y = 18 ⇒ y = 18 – x

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 18

    y = 0 ⇒ x = 18

    P L APLICACIONES 01, 15

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0, 0):

    P L APLICACIONES 01, 16

    El punto satisface la inecuación luego la región buscada está por debajo de la recta.

    P L APLICACIONES 01, 17

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    P L APLICACIONES 01, 18                  

    Para ello trazaremos la recta y = 4 junto con la que ya tenemos trazada.

    P L APLICACIONES 01, 19

    De acuerdo con la inecuación anterior, la región buscada se encuentra por encima de la recta y = 4.

    P L APLICACIONES 01, 20

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    P L APLICACIONES 01, 21

    Para ello representaremos la recta y = 5x/4 junto con las dos anteriores.

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 0

    x = 8 ⇒ y = 10

    P L APLICACIONES 01, 22

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (5, 0):

    P L APLICACIONES 01, 23

    El punto no satisface la inecuación luego la región buscada está por encima de la recta y como:

    P L APLICACIONES 01, 24

    la región de validez se encuentra a la derecha del eje Y.

    P L APLICACIONES 01, 25

    Recinto de validez:

    El recinto de validez es el que se encuentra encerrado entre las tres rectas trazadas y el eje Y.

    P L APLICACIONES 01, 26

    Por último representamos la recta: 2x + y = 0 (Procedente de la función objetivo f(x, y) = 2x + y)

    Tabla de valores:

    x = –2 ⇒ y = 4

    x = 2 ⇒ y = –4

    P L APLICACIONES 01, 27

    Las soluciones del máximo de la función objetivo f(x, y) = ax + b, si a·b > 0, son las coordenadas del vértice por donde pasa la paralela a la recta ax + by = 0 y deja por debajo al recinto de validez. Si a·b < 0 el recinto de validez debe quedar por encima de la recta.

    P L APLICACIONES 01, 28

    La recta paralela a 2x + y = 0 que pasa por el vértice (8, 10) tiene en común con el polígono de soluciones factibles sólo dicho punto (2·1 > 0 y el recinto de validez queda por debajo). Las coordenadas de este vértice son los valores pedidos.

    El resultado obtenido es el mismo que por el método analítico, 8 millones de euros en préstamos de riesgo alto  y 10 millones de euros en préstamos de riesgo medio y el benéfico máximo 1,82 millones de euros.

     

     


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