Programación lineal. Aplicaciones 01

Un banco dispone de 18 millones de euros para ofrecer préstamos de riesgo alto y medio, con rendimiento del 14% y 7%, respectivamente. Sabiendo que debe dedicar al menos 4 millones de euros a préstamos de riesgo medio y que el dinero invertido en alto y medio riesgo debe estar a lo sumo a razón de 4 a 5, determina cuánto debe dedicarse a cada uno de los tipos de préstamo para maximizar el beneficio y calcular éste.

Solución:

Millones de euros invertidos en préstamos de riesgo alto  = x . Rendimiento 14%.

Millones de euros invertidos en préstamos de riesgo medio  = y. Rendimiento 7%.

Restricciones según el enunciado:

Función objetivo:

f(x, y) = 0,14x + 0,07y (en millones de euros), o también: f(x, y) = 2x + y

Método analítico:

Primero hallaremos los vértices de la región de validez.

x + 4 = 18 ⇒ x = 14 ⇒ (14, 4)

Debemos comprobar si las soluciones halladas verifican la tercera restricción.

En este caso (14, 4) no es un vértice del recinto de validez ya que no se verifica la tercera restricción.

x + (5/4)x = 18 ⇒ (9/4)x = 18 ⇒ x = 8

y = (5/4)·8 = 10

Las soluciones halladas verifican la segunda y la cuarta restricción ya que:

Por tanto (8, 10) es un vértice del recinto de validez.

y = 18 ⇒ (0, 18)

Debemos comprobar si las soluciones halladas verifican la segunda y la tercera restricciones.

Luego (0, 18) sí es un vértice del recinto de validez ya que verifica ambas restricciones.

4 = (5/4)x ⇒ x = 16/5 ⇒ (16/5, 4)

Comprobemos si las soluciones encontradas verifican la primera y la cuarta restricciones.

Luego (16/5, 4) sí es un vértice pues verifica ambas restricciones.

Comprobemos si las soluciones encontradas verifican la primera y la tercera restricciones.

Luego (0, 4) sí es un vértice pues verifica ambas restricciones.

Comprobemos si las soluciones encontradas verifican la primera y la segunda restricciones.

Por tanto (0, 0) no es un vértice pues no verifica la segunda restricción.

Averigüemos cuál de los vértices hallados hace máxima la función objetivo:

f(8, 10) = 2·8 + 10 = 26

f(0, 18) = 2·0 + 18 = 18

f(16/5, 4) = 2·(16/5) + 4 = 52/5 = 10,4

f(0, 4) = 2·0 + 4 = 4

La función objetivo alcanza su máximo para: x = 8, y = 10.

Para que el beneficio sea máximo se han de invertir 8 millones de euros en préstamos de riesgo alto y 10 millones de euros en préstamos de riesgo medio.

Beneficio máximo = 0,14·8 + 0,07·10 = 1,82 millones de euros.

Método gráfico:

Hallamos la región que verifica la inecuación:

Trazamos la recta: x + y = 18 ⇒ y = 18 – x

Tabla de valores:

x = 0 ⇒ y = 18

y = 0 ⇒ x = 18

Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0, 0):

El punto satisface la inecuación luego la región buscada está por debajo de la recta.

Hallamos la región que verifica la inecuación:

Para ello trazaremos la recta y = 4 junto con la que ya tenemos trazada.

De acuerdo con la inecuación anterior, la región buscada se encuentra por encima de la recta y = 4.

Hallamos la región que verifica la inecuación:

Para ello representaremos la recta y = 5x/4 junto con las dos anteriores.

Tabla de valores:

x = 0 ⇒ y = 0

x = 8 ⇒ y = 10

Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (5, 0):

El punto no satisface la inecuación luego la región buscada está por encima de la recta y como:

la región de validez se encuentra a la derecha del eje Y.

Recinto de validez:

El recinto de validez es el que se encuentra encerrado entre las tres rectas trazadas y el eje Y.

Por último representamos la recta: 2x + y = 0 (Procedente de la función objetivo f(x, y) = 2x + y)

Tabla de valores:

x = –2 ⇒ y = 4

x = 2 ⇒ y = –4

Las soluciones del máximo de la función objetivo f(x, y) = ax + b, si a·b > 0, son las coordenadas del vértice por donde pasa la paralela a la recta ax + by = 0 y deja por debajo al recinto de validez. Si a·b < 0 el recinto de validez debe quedar por encima de la recta.

La recta paralela a 2x + y = 0 que pasa por el vértice (8, 10) tiene en común con el polígono de soluciones factibles sólo dicho punto (2·1 > 0 y el recinto de validez queda por debajo). Las coordenadas de este vértice son los valores pedidos.

El resultado obtenido es el mismo que por el método analítico, 8 millones de euros en préstamos de riesgo alto  y 10 millones de euros en préstamos de riesgo medio y el benéfico máximo 1,82 millones de euros.