Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Optimización 06

    Posted on junio 19th, 2014 admin No comments

     

    Calcula los puntos de la región definida por:

    OPTIMIZACION 06, 1

    donde la función z = 3x + 2y alcanza los valores máximo y mínimo. Calcula dichos valores.

     

     

    Solución:

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    OPTIMIZACION 06, 2

    Trazamos la recta: x + y = 6 ⇒ y = –x + 6

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 6

    y = 0 ⇒ x = 6

    OPTIMIZACION 06, 3

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0, 0):

    OPTIMIZACION 06, 4

    El punto no satisface la inecuación luego la región buscada está por encima de la recta (donde no se encuentra el punto (0, 0))

    OPTIMIZACION 06, 5

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    OPTIMIZACION 06, 6

    Trazamos la recta: 2x + y =15 ⇒ y = –2x + 15

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 15

    y = 0 ⇒ x = 15/2

    OPTIMIZACION 06, 7

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0, 0):

    OPTIMIZACION 06, 8

    El punto satisface la inecuación luego la región buscada está por debajo de la recta (donde se encuentra el punto (0, 0))

    OPTIMIZACION 06, 9

    Representación gráfica de:

    OPTIMIZACION 06, 10

    OPTIMIZACION 06, 11

    Región de validez:

    OPTIMIZACION 06, 12

    La región de validez es el espacio comprendido entre las cuatro rectas.

    Ahora representaremos la recta 3x + 2y + C (procedente de z = 3x + 2y ):

    Trazamos la recta: 3x + 2y = 0 (En este caso C = 0)

    Recta: y = (–3/2)x

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 0

    x = 2 ⇒ y = –3

    OPTIMIZACION 06, 13

    Las soluciones del máximo de la función objetivo f(x, y) = ax + by, si a·b > 0, son las coordenadas del vértice de la región factible (polígono ABCD) por donde pasa la paralela a la recta ax + by = 0 y deja por debajo a dicha región. Si a·b < 0 la región factible debe quedar por encima de la recta.

    Las soluciones del mínimo de la función objetivo (x, y) = ax + by, si a·b > 0, son las coordenadas del vértice de la región factible por donde pasa la paralela a la recta ax + by = 0  y deja por encima a dicha región. Si a·b < 0 la región factible debe quedar por debajo de la recta.

    OPTIMIZACION 06, 14

    Como 3·2 > 0, el mínimo se encuentra en el primer punto de contacto entre la recta paralela a 3x + 2y = 0 y el recinto de validez, o sea, (3, 3).

    Su valor es:

    z = 3·3 + 2·4 = 9 + 8 = 17

    OPTIMIZACION 06, 15

    Como 3·2 > 0, el máximo son las coordenadas del vértice por donde pasa la paralela a la recta 3x + 2y = 0 y deja por debajo al recinto de validez, o sea, (5, 5).

    Su valor es:

    z = 3·5 + 2·5 = 15 + 10 = 25

     

     


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