Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Optimización 03

    Posted on junio 9th, 2014 Miralles No comments

     

    En la región determinada por:

    PROGRAMACION 03, 1

    halla el punto en que la función: f(x, y) = 3x + 4y alcanza su valor mínimo. ¿Puede alcanzar su máximo en esa región?

     

     

    Solución:

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    PROGRAMACION 03, 2

    Trazamos la recta: x + y = 2 ⇒ y = 2 – x

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 2

    x = 2 ⇒ y = 0

    PROGRAMACION 03, 3

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0,0):

     

    PROGRAMACION 03, 4

    El punto no satisface la inecuación luego la región buscada está por encima de la recta (donde no se encuentra el punto (0, 0))

    PROGRAMACION 03, 5

    Región que verifica la inecuación:

    PROGRAMACION 03, 6

    Trazamos la recta: x = y

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 0

    x = 1 ⇒ y = 1

    PROGRAMACION 03, 7

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (2, 1):

    PROGRAMACION 03, 8

    El punto no satisface la inecuación luego la región buscada está por encima de la recta (donde no se encuentra el punto (2, 1))

    PROGRAMACION 03, 9

    Región que verifica la inecuación:

    PROGRAMACION 03, 10

    Trazamos la recta: x = 0

    PROGRAMACION 03, 11

    En este caso la región factible es el semiplano que se encuentra a la derecha de la recta x = 0 (valores de x mayores que 0).

    PROGRAMACION 03, 12

    Región que verifica la inecuación:

    PROGRAMACION 03, 14

    Trazamos la recta: y = 0

    PROGRAMACION 03, 15 bis

    En este caso la región factible es el semiplano que se encuentra por encima de la recta y = 0 (valores de y mayores que 0).

    PROGRAMACION 03, 15

    Recinto de validez:

    PROGRAMACION 03, 16

    Ahora representaremos la recta 3x + 4y + C (procedente de f(x, y) = 3x + 4y ):

    Trazamos la recta: 3x + 4y = 0 (En este caso C = 0)

    Recta: y = (–3/4)x

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 0

    x = 4 ⇒ y = –3

    PROGRAMACION 03, 17

    Las soluciones del máximo de la función objetivo f(x, y) = ax + by, si a·b > 0, son las coordenadas del vértice del recinto de validez por donde pasa la paralela a la recta ax + by = 0 y deja por debajo a dicha región. Si a·b < 0 la región factible debe quedar por encima de la recta.

    En este caso no hay máximo pues el recinto de validez es infinito.

    Las soluciones del mínimo de la función objetivo (x, y) = ax + by, si a·b > 0, son las coordenadas del vértice de la región factible por donde pasa la paralela a la recta ax + by = 0  y deja por encima a dicha región. Si a·b < 0 la región factible debe quedar por debajo de la recta.

    Las soluciones del mínimo de la función objetivo f(x, y) = ax + by, si a·b > 0, son las coordenadas del vértice por donde pasa la paralela a la recta ax + by = 0 y deja por encima al recinto de validez. Si a·b < 0 el recinto de validez debe quedar por debajo de la recta.

    PROGRAMACION 03, 18

    Como 3·4 > 0, el mínimo se encuentra en el primer punto de contacto entre la recta paralela a 3x + 4y = 0 y el recinto de validez, o sea, (1, 1).

     

     


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