Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Optimización 01

    Posted on junio 3rd, 2014 Miralles No comments

     

    Calcula los valores máximo y mínimo, obteniendo dichos valores, de la función f(x, y) = 2x + 3y sometida a las siguientes restricciones:  

    PROGRAMACIÓN 01,0

     

     

    Solución:

    Método analítico:

    Primero hallaremos los vértices de la región factible o recinto de validez planteando y resolviendo una serie de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, combinando, de todas las formas posibles, las expresiones que forman las diferentes restricciones.

    PROGRAMACIÓN 01,1

    2 + y = –1 ⇒ y = –3

    Ahora debemos comprobar si las soluciones halladas verifican las otras dos restricciones, cosa que no sucede con la tercera ya que –3 no es mayor que –1, luego (2, –3) no es un vértice del recinto de validez.

    PROGRAMACIÓN 01,3

    x – 1 = –1 ⇒ x = 0

    Podemos ver que se cumple la segunda restricción ya que  0 es menor que 2.

    Comprobemos si se cumple la tercera restricción:

    0 > 3·(–1) – (1/2) ⇒ 0 > –3 – (1/2)

    0 > –7/2

    Si se cumple, por tanto (0, –1) es un vértice del recinto de validez.

     

    PROGRAMACIÓN 01,5

    x – (1/8) =  –1 ⇒ x = (1/8) – 1

    x = –7/8

    Podemos observar que las soluciones encontradas satisfacen las otras dos restricciones, pues –7/8 es menor que 2 y –1/8 es mayor que –1, luego (–7/8, –1/8) es un vértice de la región de validez.

    Ahora veremos si x = 2 e y = –1 satisfacen todas las restricciones.

    PROGRAMACIÓN 01,6

    Sí que las satisfacen. Por tanto (2, –1) también es un vértice.

    PROGRAMACIÓN 01,7

    2 – 3y = –1/2 ⇒ 3y = 2 + (1/2) ⇒ y = 5/6

    El resultado hallado verifica la tercera restricción ya que 5/6 es mayor que –1.

    Sustituyendo en la primera restricción veremos que también la cumple:

    2 + (5/6) = 17/6 > –1

    Luego (2, 5/6) también es un vértice.

    Por último plantearemos el último sistema:

    PROGRAMACIÓN 01,7 bis

    x – 3·(–1) = –1/2 ⇒ x + 3 = –1/2

    x = –3 – 1/2 = –7/2

    Se cumple la segunda restricción ya que –7/2 es menor que 2.

    Ahora veremos si verifica la primera restricción:

    (–7/2) – 1 = –9/2

    Como –9/2 es menor que –1 no se cumple, luego (–9/2, –1) no es un vértice.

    Averigüemos cuál de estos vértices hace máxima o mínima la función objetivo:

    f(0, –1) = 2·0 + 3·(–1) = –3

    f(–7/8, –1/8) = 2·(–7/8) + 3·(–1/8) = (–14/8) + (–3/8) = –17/8 = –2,125

    f(2, –1) = 2·2 + 3·(–1) = 1

    f(2, 5/6) = 2·2 + 3·(5/6) = 4 + (5/2) = 13/2 = 6,5

    De los resultados obtenidos podemos ver que el mayor es 6,5 y el menor es –3. Por lo tanto el máximo se alcanza en el punto (2, 5/6) y el mínimo en el punto (0, –1).

    Método gráfico:

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    PROGRAMACIÓN 01,8

    Trazamos la recta: x + y = –1 ⇒ y = x + 1

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = –1

    x = –1 ⇒ y = 0

    PROGRAMACIÓN 01,9

     

    Para saber si la región factible se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0, 0):

    PROGRAMACIÓN 01,10

    El punto satisface la inecuación luego la región buscada está por encima de la recta (donde se encuentra el punto (0, 0))

    PROGRAMACIÓN 01,11

    Región que verifica la inecuación:

    PROGRAMACIÓN 01,12

    Trazamos la recta: x = 2

    PROGRAMACIÓN 01,13

    En este caso la región factible es el semiplano que se encuentra a la izquierda de la recta x = 2 (valores de x menores que 2).

    PROGRAMACIÓN 01,14

    Región que verifica la inecuación:

    PROGRAMACIÓN 01,15

    Trazamos la recta: y = –1

    PROGRAMACIÓN 01,16

    En este caso la región factible es el semiplano que se encuentra por encima de la recta y = –1 (valores de y mayores que –1).

    PROGRAMACIÓN 01,17

    Región que verifica la inecuación:

    PROGRAMACIÓN 01,18

    Trazamos la recta: x – 3y = 1/2 ⇒ y = (1/3)x + (1/6)

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 1/6

    y = 0 ⇒ x = –1/2

    PROGRAMACIÓN 01,19

    Para saber si la región factible se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0,0):

    PROGRAMACIÓN 01,20

      El punto satisface la inecuación luego la región buscada está por debajo de la recta (donde se encuentra el punto (0, 0))

    PROGRAMACIÓN 01,21

    Región factible:

    PROGRAMACIÓN 01,22

    Ahora representaremos la recta 2x + 3y + C (procedente de f(x, y) = 2x + 3y ):

    Trazamos la recta: 2x + 3y = 0 (En este caso C = 0)

    Recta: y = (–2/3)x

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 0

    y = –2 ⇒ x = 3

    PROGRAMACIÓN 01,23

    Las soluciones del máximo de la función objetivo f(x, y) = ax + by, si a por b es mayor que cero, son las coordenadas del vértice de la región factible (polígono ABCD) por donde pasa la paralela a la recta ax + by = 0 y deja por debajo a dicha región. Si a por b es menor que cero la región factible debe quedar por encima de la recta.

    Las soluciones del mínimo de la función objetivo (x, y) = ax + by, si a por b es mayor que cero, son las coordenadas del vértice de la región factible por donde pasa la paralela a la recta ax + by = 0  y deja por encima a dicha región. Si a por b es menor que cero la región factible debe quedar por debajo de la recta.

    PROGRAMACIÓN 01,24

    Como 2·3 es mayor que cero, el mínimo se encuentra en el primer punto de contacto entre la recta paralela a 2x + 3y = 0 y la región factible, o sea, (0, –1).

    PROGRAMACIÓN 01,25

    Como 2·3 es mayor que cero, el máximo son las coordenadas del vértice por donde pasa la paralela a la recta 2x + 3y = 0 y deja por debajo a la región factible. En este caso por la gráfica se puede saber el valor de la abscisa, x = 2, pero no el de la ordenada, aunque se puede averiguar ya que es el punto de corte de las rectas x = 2 y x – 3y = –1/2, luego:

    2 – 3y = –1/2 ⇒ 3y = 2 + (1/2)

    3y = 5/2 ⇒ y = 5/6

    Coordenadas del máximo: (2, 5/6)

     

     

     


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