Volumen del paralelepípedo y del tetraedro 01

Un tetraedro tiene tres vértices en el plano OXY: A(2, 1, 0), B(3, 4, 0), C(–5, 10, 0) y el cuarto vértice D sobre la recta:

Halla las coordenadas de D para que el volumen del tetraedro sea 6u³.

Solución:

El problema se puede resolver de dos formas diferentes.

Primera forma:

El volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D:

Como el vértice D se encuentra sobre la recta r sus coordenadas serán:

D(1 – µ, 2 + µ, 3 + µ)

Aplicando la fórmula:

Desarrollando por los elementos de la tercera columna, tenemos:

= –(3 + µ)·[(8 + 30 – 5) – (–20 + 3 + 20)] =

= –(3 + µ)·(33 – 3) = –30·(3 + µ)

|(1/6)·[ –30·(3 + µ)]| = 6

Primera solución:

–5·(3 + µ) = 6 ⇒ 3 + µ = 6/(–5)

µ = (–6/5) – 3 = –21/5

Por tanto:

D[1 – (–21/5), 2 + (–21/5), 3 + (–21/5)]

D[(26/5), (–11/5), (–6/5)]

Segunda solución:

–5·(3 + µ) = –6 ⇒ 3 + µ = 6/5

µ = (6/5) – 3 = –9/5

Luego:

D[1 – (–9/5), 2 + (–9/5), 3 + (–9/5)]

D[(14/5), (1/5), (6/5)]

Segunda forma:

El volumen del tetraedro de aristas los vectores AB, AC y AD vale:

Coordenadas del vector AB:

AB = (1, 3, 0)

Coordenadas del vector AC:

AC = (–7, 9, 0)

Coordenadas del vector AD:

AD = (1 – µ – 2 , 2 + µ – 1, 3 + µ – 0)

AD = (–1 – µ , 1 + µ, 3 + µ)

= (3 + µ)·(9 + 21) = 30·(3 + µ)

(1/6)|30·(3 + µ)| = 6

Primera solución:

5·(3 + µ) = 6 ⇒ 3 + µ = 6/5

µ = (6/5) – 3 = –9/5

Por tanto:

D[1 – (–9/5), 2 + (–9/5), 3 + (–9/5)]

D[(14/5), (1/5), (6/5)]

Segunda solución:

5·(3 + µ) = –6 ⇒ 3 + µ = –6/5

µ = (–6/5) – 3 = –21/5

Luego:

D[1 – (–21/5), 2 + (–21/5), 3 + (–21/5)]

D[(26/5), (–11/5), (–6/5)]