Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Volumen del paralelepípedo y del tetraedro 01

    Posted on mayo 22nd, 2014 Miralles No comments

     

    Un tetraedro tiene tres vértices en el plano OXY: A(2, 1, 0), B(3, 4, 0), C(–5, 10, 0) y el cuarto vértice D sobre la recta:

    VOLUMEN 01,1

    Halla las coordenadas de D para que el volumen del tetraedro sea 6u3.

     

     

    Solución:

    El problema se puede resolver de dos formas diferentes.

    Primera forma:

    El volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D:

    VOLUMEN 01,2

    Como el vértice D se encuentra sobre la recta r sus coordenadas serán:

    D(1 – µ, 2 + µ, 3 + µ)

    Aplicando la fórmula:

    VOLUMEN 01,3

    Desarrollando por los elementos de la tercera columna, tenemos:

    VOLUMEN 01,4

    = –(3 + µ)·[(8 + 30 – 5) – (–20 + 3 + 20)] =

    = –(3 + µ)·(33 – 3) = –30·(3 + µ)

    |(1/6)·[ –30·(3 + µ)]| = 6

    Primera solución:

    –5·(3 + µ) = 6 ⇒ 3 + µ = 6/(–5)

    µ = (–6/5) – 3 = –21/5

    Por tanto:

    D[1 – (–21/5), 2 + (–21/5), 3 + (–21/5)]

    D[(26/5), (–11/5), (–6/5)]

    Segunda solución:

    –5·(3 + µ) = –6 ⇒ 3 + µ = 6/5

    µ = (6/5) – 3 = –9/5

    Luego:

    D[1 – (–9/5), 2 + (–9/5), 3 + (–9/5)]

    D[(14/5), (1/5), (6/5)]

    Segunda forma:

    VOLUMEN 01,5

    El volumen del tetraedro de aristas los vectores AB, AC y AD vale:

    VOLUMEN 01,6

    Coordenadas del vector AB:

    AB = (1, 3, 0)

    Coordenadas del vector AC:

    AC = (–7, 9, 0)

    Coordenadas del vector AD:

    AD = (1 – µ – 2 , 2 + µ – 1, 3 + µ – 0)

    AD = (–1 – µ , 1 + µ, 3 + µ)

    VOLUMEN 01,7

    = (3 + µ)·(9 + 21) = 30·(3 + µ)

    (1/6)|30·(3 + µ)| = 6

    Primera solución:

    5·(3 + µ) = 6 ⇒ 3 + µ = 6/5

    µ = (6/5) – 3 = –9/5

    Por tanto:

    D[1 – (–9/5), 2 + (–9/5), 3 + (–9/5)]

    D[(14/5), (1/5), (6/5)]

    Segunda solución:

    5·(3 + µ) = –6 ⇒ 3 + µ = –6/5

    µ = (–6/5) – 3 = –21/5

    Luego:

    D[1 – (–21/5), 2 + (–21/5), 3 + (–21/5)]

    D[(26/5), (–11/5), (–6/5)]

     

     

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