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Volumen del paralelepípedo y del tetraedro 01
Posted on mayo 22nd, 2014 No commentsUn tetraedro tiene tres vértices en el plano OXY: A(2, 1, 0), B(3, 4, 0), C(–5, 10, 0) y el cuarto vértice D sobre la recta:
Halla las coordenadas de D para que el volumen del tetraedro sea 6u3.
Solución:
El problema se puede resolver de dos formas diferentes.
Primera forma:
El volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D:
Como el vértice D se encuentra sobre la recta r sus coordenadas serán:
D(1 – µ, 2 + µ, 3 + µ)
Aplicando la fórmula:
Desarrollando por los elementos de la tercera columna, tenemos:
= –(3 + µ)·[(8 + 30 – 5) – (–20 + 3 + 20)] =
= –(3 + µ)·(33 – 3) = –30·(3 + µ)
|(1/6)·[ –30·(3 + µ)]| = 6
Primera solución:
–5·(3 + µ) = 6 ⇒ 3 + µ = 6/(–5)
µ = (–6/5) – 3 = –21/5
Por tanto:
D[1 – (–21/5), 2 + (–21/5), 3 + (–21/5)]
D[(26/5), (–11/5), (–6/5)]
Segunda solución:
–5·(3 + µ) = –6 ⇒ 3 + µ = 6/5
µ = (6/5) – 3 = –9/5
Luego:
D[1 – (–9/5), 2 + (–9/5), 3 + (–9/5)]
D[(14/5), (1/5), (6/5)]
Segunda forma:
El volumen del tetraedro de aristas los vectores AB, AC y AD vale:
Coordenadas del vector AB:
AB = (1, 3, 0)
Coordenadas del vector AC:
AC = (–7, 9, 0)
Coordenadas del vector AD:
AD = (1 – µ – 2 , 2 + µ – 1, 3 + µ – 0)
AD = (–1 – µ , 1 + µ, 3 + µ)
= (3 + µ)·(9 + 21) = 30·(3 + µ)
(1/6)|30·(3 + µ)| = 6
Primera solución:
5·(3 + µ) = 6 ⇒ 3 + µ = 6/5
µ = (6/5) – 3 = –9/5
Por tanto:
D[1 – (–9/5), 2 + (–9/5), 3 + (–9/5)]
D[(14/5), (1/5), (6/5)]
Segunda solución:
5·(3 + µ) = –6 ⇒ 3 + µ = –6/5
µ = (–6/5) – 3 = –21/5
Luego:
D[1 – (–21/5), 2 + (–21/5), 3 + (–21/5)]
D[(26/5), (–11/5), (–6/5)]
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