Área de un paralelogramo 02

Sabiendo que dos lados de un cuadrado están en las rectas:

halla el área del cuadrado.

Solución:

Primero tenemos que averiguar si los lados contenidos por las rectas r y s son los paralelos o los perpendiculares, para lo cual necesitamos conocer los vectores directores de ambas rectas.

Vector director de r: u = (1, 2, 1).

Para hallar el vector director de la segunda recta, primero la pasaremos a paramétricas.

x = –3 + µ ⇒ –(–3 + µ) + y = –2 + µ

3 – µ + y = –2 + µ ⇒ y = –5 + 2µ

Como ambas rectas tienen el mismo vector director son paralelas.

Área del cuadrado: 

A = d²

siendo d las distancia que existe entre ambas rectas, que, por ser paralelas, será igual a la distancia de un punto de r, P(1, 0, 2), a la recta s.

Una posible manera de averiguar la distancia d, es hallar una recta que sea perpendicular a r y s; después se averigua los puntos de corte y finalmente se busca la distancia entre ambos puntos de corte.

Ecuación de la recta, t, que pasa por P y es perpendicular a r y a s.

Vector director de t:

w = PP’

Las coordenadas del punto P ya las sabemos y un punto cualquiera de P’ es (–3 + µ, –5 + 2µ, µ), por tanto:

w = (–3 + µ –1, –5 + 2µ – 0, µ – 2) = (µ – 4, 2µ – 5, µ – 2)

Como t y r son perpendiculares se cumplirá que el producto escalar de sus vectores directores es igual a cero, es decir:

u·w = 0

(1, 2, 1)· (µ – 4, 2µ – 5, µ – 2) = 0

µ – 4 + 4µ – 10 + µ – 2 = 0

6µ = 16 ® µ = 16/6 = 8/3

Punto de corte de las rectas t y s:

Coordenadas del punto P’:

P’[–3 + (8/3), –5 + 2(8/3), 8/3 ] = (–1/3, 1/3, 8/3)