Área de un triángulo 05

Los puntos P(0, 1, 0) y Q(–1, 1, 1) son dos vértices de un triángulo, y el tercero S, pertenece a la recta:

La recta que contiene a P y a S es perpendicular a la recta r.

a)  Determina las coordenadas de S.

b)  Calcula el área del triángulo PQS.

Solución:

Datos: P(0, 1, 0); Q(–1, 1, 1)

a)     

Las rectas r y la que pasa por P y S son perpendiculares, luego el producto escalar de sus vectores directores será igual a cero, es decir:

PS·d_r = 0

Coordenadas de los vectores directores PS y d_r:

Pasemos a paramétrica la ecuación de la recta r:

De la ecuación paramétrica de r se deduce que cualquier punto perteneciente a dicha recta tendrá por coordenadas, S(4, µ, 1) y un vector director será, d_r = (0, 1,0), por tanto:

PS = (4 – 0, µ – 1, 1 – 0) = (4, µ – 1, 1)

(4, µ – 1, 1)· (0, 1,0) = 0

0 + µ – 1 + 0 = 0 → µ = 1

Las coordenadas del punto S son: ( 4, 1, 1)

b)  Área del triángulo:

Coordenadas de los vectores PQ y PS:

PQ = (–1 – 0 , 1 – 1, 1 – 0) = (–1, 0, 1)

PS = (4 – 0, 1 – 1, 1 – 0) = (4, 0, 1) 

A_r = 5/2 = 2,5 u²