Área de un triángulo 04

El vértice A de un triángulo rectángulo pertenece a la recta:

y la hipotenusa tiene por extremos: B(2, 1, –1) y C(0, –1, 3). Calcula:

a)  El vértice A.

b)  El ángulo ABC.

c)  El área del triángulo ABC.  

Solución:

a)  Pasemos a paramétricas le recta r:

Si z = µ, siendo µ un número real, entonces:

Como el punto A pertenece a la recta r sus coordenadas serán: A(3, –1 – µ, µ).

Por otra parte los vectores AB y AC son perpendiculares, luego: AB·AC = 0.

Coordenadas de los vectores AB y AC:

AB = (2 – 3, 1 + 1 + µ, –1 – µ) = (–1, 2 + µ, –1 – µ)

AC = (0 – 3, –1 + 1 + µ, 3 – µ) = (–3, µ, 3 – µ)

Producto escalar:

AB·AC = (–1, 2 + µ, –1 – µ)·(–3, µ, 3 – µ) = 0

3 + 2µ + µ² – 3 + µ – 3µ + µ² = 0

2µ² = 0 → µ = 0

Coordenadas del vértice A:

A(3, –1, 0)

b)  Ángulo ABC:

Aplicando el producto escalar de los vectores BA y BC tenemos que:

BA· BC = BA·BC·cos a

cos a = BA· BC/BA·BC

c)  Área del triángulo ABC (A_r):