Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Área de un triángulo 04

    Posted on mayo 1st, 2014 Miralles No comments

     

    El vértice A de un triángulo rectángulo pertenece a la recta:

     

    y la hipotenusa tiene por extremos: B(2, 1, –1) y C(0, –1, 3). Calcula:

    a)  El vértice A.

    b)  El ángulo ABC.

    c)  El área del triángulo ABC.  

     

     

    Solución:

     

    a)  Pasemos a paramétricas le recta r:

    Si z = µ, siendo µ un número real, entonces:

     

    Como el punto A pertenece a la recta r sus coordenadas serán: A(3, –1 – µ, µ).

    Por otra parte los vectores AB y AC son perpendiculares, luego: AB·AC = 0.

    Coordenadas de los vectores AB y AC:

    AB = (2 – 3, 1 + 1 + µ, –1 – µ) = (–1, 2 + µ, –1 – µ)

    AC = (0 – 3, –1 + 1 + µ, 3 – µ) = (–3, µ, 3 – µ)

    Producto escalar:

    AB·AC = (–1, 2 + µ, –1 – µ)·(–3, µ, 3 – µ) = 0

    3 + 2µ + µ2 – 3 + µ – 3µ + µ2 = 0

    2 = 0 → µ = 0

    Coordenadas del vértice A:

    A(3, –1, 0)

    b)  Ángulo ABC:

    Aplicando el producto escalar de los vectores BA y BC tenemos que:

    BA· BC = BA·BC·cos a

    cos a = BA· BC/BA·BC

     

    c)  Área del triángulo ABC (Ar):

     

     

     

     

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